Номер 776, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

776. Найдите сумму тридцати трёх первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_3 + a_5 + a_{13} = 33$ и $a_{15} - a_8 - a_{10} = -1$.

Для нахождения суммы первых тридцати трех членов арифметической прогрессии $S_{33}$, нам необходимо определить первый член прогрессии $a_1$ и ее разность $d$. Для этого воспользуемся данными из условия задачи.

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

1. Преобразуем первое уравнение: $a_3 + a_5 + a_{13} = 33$.

Выразим каждый член через $a_1$ и $d$:

$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

$a_{13} = a_1 + (13-1)d = a_1 + 12d$

Подставим эти выражения в уравнение:

$(a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 12d) = 33$

$3a_1 + 18d = 33$

Разделим обе части уравнения на 3:

$a_1 + 6d = 11$

2. Преобразуем второе уравнение: $a_{15} - a_8 - a_{10} = -1$.

Выразим каждый член через $a_1$ и $d$:

$a_{15} = a_1 + (15-1)d = a_1 + 14d$

$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$

Подставим эти выражения в уравнение:

$(a_1 + 14d) - (a_1 + 7d) - (a_1 + 9d) = -1$

$a_1 + 14d - a_1 - 7d - a_1 - 9d = -1$

$-a_1 - 2d = -1$

Умножим обе части уравнения на -1:

$a_1 + 2d = 1$

3. Решим систему из двух полученных уравнений:

$\begin{cases} a_1 + 6d = 11 \\ a_1 + 2d = 1\end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(a_1 + 6d) - (a_1 + 2d) = 11 - 1$

$4d = 10$

$d = \frac{10}{4} = 2.5$

Теперь найдем $a_1$, подставив значение $d$ во второе уравнение:

$a_1 + 2(2.5) = 1$

$a_1 + 5 = 1$

$a_1 = 1 - 5 = -4$

4. Найдем сумму тридцати трех первых членов прогрессии.

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Подставим наши значения $n=33$, $a_1=-4$ и $d=2.5$:

$S_{33} = \frac{2(-4) + (33-1) \cdot 2.5}{2} \cdot 33$

$S_{33} = \frac{-8 + 32 \cdot 2.5}{2} \cdot 33$

$S_{33} = \frac{-8 + 80}{2} \cdot 33$

$S_{33} = \frac{72}{2} \cdot 33$

$S_{33} = 36 \cdot 33 = 1188$

Ответ: 1188.