Номер 774, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

774. Найдите сумму двадцати пяти первых членов арифметической про-грессии $(a_n)$, если $a_{10} = 44$, а разность прогрессии $d = 4$.

Для нахождения суммы двадцати пяти первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$ необходимо воспользоваться формулой суммы $S_n$. Существует две основные формулы:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $a_n$ — n-й член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — количество членов.

По условию задачи, нам даны: десятый член прогрессии $a_{10} = 44$, разность $d = 4$ и количество членов для суммирования $n = 25$. Для использования любой из формул суммы нам необходимо найти первый член прогрессии $a_1$.

Шаг 1: Нахождение первого члена прогрессии $a_1$

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим в нее известные нам значения для десятого члена ($n=10$):
$a_{10} = a_1 + (10 - 1)d$
$44 = a_1 + 9 \cdot 4$
$44 = a_1 + 36$
Теперь выразим и вычислим $a_1$:
$a_1 = 44 - 36$
$a_1 = 8$

Шаг 2: Нахождение суммы двадцати пяти первых членов $S_{25}$

Теперь, зная $a_1 = 8$, $d = 4$ и $n = 25$, мы можем вычислить сумму $S_{25}$ по второй формуле:
$S_{25} = \frac{2a_1 + (25 - 1)d}{2} \cdot 25$
Подставим числовые значения:
$S_{25} = \frac{2 \cdot 8 + (24) \cdot 4}{2} \cdot 25$
$S_{25} = \frac{16 + 96}{2} \cdot 25$
$S_{25} = \frac{112}{2} \cdot 25$
$S_{25} = 56 \cdot 25$
$S_{25} = 1400$

Ответ: $1400$.