Номер 772, страница 225 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

772. Чему равна сумма сорока первых членов арифметической прогрессии $(x_n)$, если $x_8 = -14, x_{30} = -9$?

Для нахождения суммы первых сорока членов арифметической прогрессии $(x_n)$ необходимо найти ее первый член $x_1$ и разность $d$. Сумма вычисляется по формуле $S_n = \frac{2x_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

По условию задачи нам известны восьмой и тридцатый члены прогрессии: $x_8 = -14$ и $x_{30} = -9$.

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $x_n = x_1 + (n-1)d$.

Используя эту формулу для данных нам членов, составим систему уравнений:

$x_8 = x_1 + (8-1)d \implies x_1 + 7d = -14$

$x_{30} = x_1 + (30-1)d \implies x_1 + 29d = -9$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти разность прогрессии $d$:

$(x_1 + 29d) - (x_1 + 7d) = -9 - (-14)$

$x_1 + 29d - x_1 - 7d = -9 + 14$

$22d = 5$

$d = \frac{5}{22}$

Теперь найдем первый член прогрессии $x_1$, подставив значение $d$ в любое из уравнений системы. Возьмем первое уравнение $x_1 + 7d = -14$:

$x_1 + 7 \cdot \left(\frac{5}{22}\right) = -14$

$x_1 + \frac{35}{22} = -14$

$x_1 = -14 - \frac{35}{22}$

$x_1 = -\frac{14 \cdot 22}{22} - \frac{35}{22} = -\frac{308}{22} - \frac{35}{22} = -\frac{343}{22}$

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления суммы первых сорока членов ($n=40$):

$S_{40} = \frac{2x_1 + (40-1)d}{2} \cdot 40$

$S_{40} = (2x_1 + 39d) \cdot 20$

Подставим найденные значения $x_1 = -\frac{343}{22}$ и $d = \frac{5}{22}$:

$S_{40} = \left(2 \cdot \left(-\frac{343}{22}\right) + 39 \cdot \frac{5}{22}\right) \cdot 20$

$S_{40} = \left(-\frac{686}{22} + \frac{195}{22}\right) \cdot 20$

$S_{40} = \left(\frac{-686 + 195}{22}\right) \cdot 20$

$S_{40} = \frac{-491}{22} \cdot 20$

Сократим дробь:

$S_{40} = \frac{-491 \cdot 10}{11} = -\frac{4910}{11}$

Ответ: $-\frac{4910}{11}$