Номер 775, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

грессии $(a_n)$, если $a_{10} = -11$, а разность прогрессии $d = 1$.

775. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_6 + a_8 - a_{14} = -17$ и $a_5 + a_{22} = 101$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$:
$a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ – первый член прогрессии, а $d$ – её разность.

Нам даны два условия:
1) $a_6 + a_8 - a_{14} = -17$
2) $a_5 + a_{22} = 101$

Распишем первое условие, выразив его члены через $a_1$ и $d$:
$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$
$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$
$a_{14} = a_1 + (14-1)d = a_1 + 13d$

Подставим эти выражения в первое уравнение:
$(a_1 + 5d) + (a_1 + 7d) - (a_1 + 13d) = -17$
$a_1 + 5d + a_1 + 7d - a_1 - 13d = -17$
$a_1 + (5d + 7d - 13d) = -17$
$a_1 - d = -17$

Теперь распишем второе условие:
$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$
$a_{22} = a_1 + (22-1)d = a_1 + 21d$

Подставим эти выражения во второе уравнение:
$(a_1 + 4d) + (a_1 + 21d) = 101$
$2a_1 + 25d = 101$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $d$:
$\begin{cases} a_1 - d = -17 \\ 2a_1 + 25d = 101 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a_1$:
$a_1 = d - 17$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$2(d - 17) + 25d = 101$
$2d - 34 + 25d = 101$
$27d = 101 + 34$
$27d = 135$
$d = \frac{135}{27} = 5$

Теперь найдем $a_1$, подставив значение $d$ в выражение $a_1 = d - 17$:
$a_1 = 5 - 17 = -12$

Итак, мы определили, что первый член прогрессии $a_1 = -12$ и ее разность $d = 5$.

Теперь найдем сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии ($S_{20}$). Воспользуемся формулой суммы:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим наши значения $n=20$, $a_1=-12$ и $d=5$:
$S_{20} = \frac{2(-12) + 5(20-1)}{2} \cdot 20$
$S_{20} = (2 \cdot (-12) + 5 \cdot 19) \cdot 10$
$S_{20} = (-24 + 95) \cdot 10$
$S_{20} = 71 \cdot 10$
$S_{20} = 710$

Ответ: 710.