Номер 779, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

779. (Старинная египетская задача.) Сто мер хлеба надо разделить на пять человек так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвёртый больше третьего и пятый больше четвёртого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше, чем трое последних. Сколько надо дать каждому?

Для решения этой задачи введем переменные. Обозначим количество мер хлеба, которое получил каждый из пяти человек, через $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ соответственно.

Условие "второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвёртый больше третьего и пятый больше четвёртого" означает, что количества хлеба образуют арифметическую прогрессию. Пусть первый человек получил $a$ мер хлеба ($x_1 = a$), а разность этой прогрессии равна $d$. Тогда доли каждого можно выразить следующим образом:

• Первый человек: $x_1 = a$
• Второй человек: $x_2 = a + d$
• Третий человек: $x_3 = a + 2d$
• Четвёртый человек: $x_4 = a + 3d$
• Пятый человек: $x_5 = a + 4d$

Общее количество хлеба составляет 100 мер. Составим первое уравнение, просуммировав доли всех пятерых:

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 100$

$a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + (a + 4d) = 100$

Упростим это выражение, сгруппировав слагаемые:

$5a + 10d = 100$

Разделим обе части уравнения на 5:

$a + 2d = 20$

Это наше первое уравнение. Интересно, что выражение $a + 2d$ — это в точности доля третьего человека ($x_3$). Таким образом, мы уже знаем, что третий человек получил 20 мер хлеба.

Второе условие задачи гласит, что "двое первых должны получить в 7 раз меньше, чем трое последних". Запишем это в виде второго уравнения.

Сумма долей первых двух человек: $x_1 + x_2 = a + (a + d) = 2a + d$.

Сумма долей последних трёх человек: $x_3 + x_4 + x_5 = (a + 2d) + (a + 3d) + (a + 4d) = 3a + 9d$.

Составим уравнение согласно условию "в 7 раз меньше":

$7 \cdot (2a + d) = 3a + 9d$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$14a + 7d = 3a + 9d$

$14a - 3a = 9d - 7d$

$11a = 2d$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} a + 2d = 20 \\ 11a = 2d \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Подставим выражение для $2d$ из второго уравнения ($2d = 11a$) в первое уравнение:

$a + (11a) = 20$

$12a = 20$

$a = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

Теперь, зная значение $a$, найдем $d$ из уравнения $11a = 2d$:

$d = \frac{11a}{2} = \frac{11 \cdot (5/3)}{2} = \frac{55/3}{2} = \frac{55}{6}$

Мы нашли первый член прогрессии $a$ и ее разность $d$. Теперь можем вычислить, сколько хлеба получил каждый человек:

• $x_1 = a = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}$
• $x_2 = a + d = \frac{5}{3} + \frac{55}{6} = \frac{10}{6} + \frac{55}{6} = \frac{65}{6} = 10 \frac{5}{6}$
• $x_3 = a + 2d = \frac{5}{3} + 2 \cdot \frac{55}{6} = \frac{5}{3} + \frac{55}{3} = \frac{60}{3} = 20$
• $x_4 = a + 3d = \frac{5}{3} + 3 \cdot \frac{55}{6} = \frac{5}{3} + \frac{55}{2} = \frac{10}{6} + \frac{165}{6} = \frac{175}{6} = 29 \frac{1}{6}$
• $x_5 = a + 4d = \frac{5}{3} + 4 \cdot \frac{55}{6} = \frac{5}{3} + \frac{110}{3} = \frac{115}{3} = 38 \frac{1}{3}$

Ответ: первому человеку надо дать $1 \frac{2}{3}$ меры хлеба, второму — $10 \frac{5}{6}$, третьему — $20$, четвёртому — $29 \frac{1}{6}$, а пятому — $38 \frac{1}{3}$ мер хлеба.