Номер 781, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

781. Чему равна сумма $n$ первых чётных чисел?

Чтобы найти сумму $n$ первых чётных чисел, необходимо сначала определить, что из себя представляет эта последовательность. Первые чётные числа — это 2, 4, 6, 8, и так далее. Мы видим, что это арифметическая прогрессия.

Обозначим эту сумму как $S_n$. Тогда:

$S_n = 2 + 4 + 6 + \dots + 2n$

Для нахождения этой суммы можно использовать несколько подходов.

Способ 1: Использование формулы суммы арифметической прогрессии

Последовательность чётных чисел является арифметической прогрессией, где:

• первый член $a_1 = 2$;
• $n$-й член $a_n = 2n$;
• количество членов равно $n$.

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии выглядит так:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим наши значения в эту формулу:

$S_n = \frac{2 + 2n}{2} \cdot n$

Вынесем общий множитель 2 в числителе дроби:

$S_n = \frac{2(1 + n)}{2} \cdot n$

Сократим на 2 и получим итоговую формулу:

$S_n = (1 + n) \cdot n = n(n+1)$

Способ 2: Вынесение общего множителя

Рассмотрим нашу сумму ещё раз:

$S_n = 2 + 4 + 6 + \dots + 2n$

Можно заметить, что каждый член суммы делится на 2. Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$S_n = 2(1 + 2 + 3 + \dots + n)$

Выражение в скобках представляет собой сумму первых $n$ натуральных чисел. Для этой суммы существует известная формула:

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

Теперь подставим это выражение обратно в нашу формулу для $S_n$:

$S_n = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

Сократив двойки, мы получаем тот же самый результат:

$S_n = n(n+1)$

Таким образом, сумма первых $n$ чётных чисел равна произведению $n$ на $n+1$.

Ответ: $n(n+1)$