Номер 788, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

788. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, кратных 8.

Все трёхзначные числа, кратные 8, образуют арифметическую прогрессию. Чтобы найти их сумму, нам нужно определить первый и последний члены этой прогрессии, а также их общее количество.

Сначала найдём первый член прогрессии ($a_1$). Наименьшее трёхзначное число — это 100. Найдём наименьшее трёхзначное число, которое делится на 8 без остатка.
$100 \div 8 = 12$ (остаток 4).
Чтобы получить число, кратное 8, нужно либо вычесть остаток (что даст двузначное число $100 - 4 = 96$), либо прибавить недостающее до 8 число ($8 - 4 = 4$).
$100 + 4 = 104$.
Таким образом, первый член прогрессии $a_1 = 104$.

Теперь найдём последний член прогрессии ($a_n$). Наибольшее трёхзначное число — это 999.
$999 \div 8 = 124$ (остаток 7).
Чтобы получить наибольшее трёхзначное число, кратное 8, нужно от 999 отнять остаток.
$999 - 7 = 992$.
Таким образом, последний член прогрессии $a_n = 992$.

Разность арифметической прогрессии $d$ равна 8. Найдём количество членов прогрессии ($n$) по формуле n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставляем известные значения:
$992 = 104 + (n-1) \cdot 8$
$992 - 104 = (n-1) \cdot 8$
$888 = (n-1) \cdot 8$
$n - 1 = \frac{888}{8}$
$n - 1 = 111$
$n = 112$
Итак, в прогрессии 112 членов.

Наконец, вычислим сумму всех членов прогрессии ($S_n$) по формуле суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_{112} = \frac{104 + 992}{2} \cdot 112$
$S_{112} = \frac{1096}{2} \cdot 112$
$S_{112} = 548 \cdot 112$
$S_{112} = 61376$

Ответ: 61376