Номер 783, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

783. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрес-сии $-6,2; -5,9; -5,6; \ldots$

Данная последовательность является арифметической прогрессией. Чтобы найти сумму всех ее отрицательных членов, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти первый член и разность прогрессии.
Первый член прогрессии известен из условия: $a_1 = -6,2$.
Разность арифметической прогрессии $d$ — это постоянная величина, на которую отличается каждый последующий член от предыдущего. Найдем ее, вычтя из второго члена первый:
$d = a_2 - a_1 = -5,9 - (-6,2) = -5,9 + 6,2 = 0,3$.

2. Определить количество отрицательных членов прогрессии.
Нам нужно найти все члены прогрессии $a_n$, которые меньше нуля. Для этого воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ и решим неравенство $a_n < 0$:
$-6,2 + (n-1) \cdot 0,3 < 0$
Перенесем -6,2 в правую часть:
$0,3(n-1) < 6,2$
Разделим обе части на 0,3:
$n-1 < \frac{6,2}{0,3}$
$n-1 < \frac{62}{3}$
$n-1 < 20\frac{2}{3}$
$n < 21\frac{2}{3}$
Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, наибольшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $n=21$. Таким образом, в данной прогрессии ровно 21 отрицательный член.

3. Вычислить сумму всех отрицательных членов.
Сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии можно найти по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
В нашем случае нужно найти сумму первых 21 члена ($S_{21}$).
Сначала найдем значение последнего отрицательного члена, $a_{21}$:
$a_{21} = a_1 + (21-1)d = -6,2 + 20 \cdot 0,3 = -6,2 + 6 = -0,2$.
Теперь подставим значения $a_1$, $a_{21}$ и $n=21$ в формулу суммы:
$S_{21} = \frac{-6,2 + (-0,2)}{2} \cdot 21$
$S_{21} = \frac{-6,4}{2} \cdot 21$
$S_{21} = -3,2 \cdot 21$
$S_{21} = -67,2$.

Ответ: -67,2