Номер 778, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

778. При любом $n$ сумму $n$ первых членов некоторой арифметической прогрессии можно вычислить по формуле $S_n = 9n - 2n^2$. Найдите седьмой член этой прогрессии.

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии $a_n$, зная формулу для суммы ее первых n членов $S_n$, можно использовать соотношение: $a_n = S_n - S_{n-1}$ (при $n > 1$).

Чтобы найти седьмой член прогрессии ($a_7$), нам нужно найти разность между суммой первых семи членов ($S_7$) и суммой первых шести членов ($S_6$).

По условию задачи, формула для суммы n первых членов: $S_n = 9n - 2n^2$.

1. Сначала вычислим сумму семи первых членов, подставив $n=7$ в данную формулу:

$S_7 = 9 \cdot 7 - 2 \cdot 7^2 = 63 - 2 \cdot 49 = 63 - 98 = -35$.

2. Затем вычислим сумму шести первых членов, подставив $n=6$ в формулу:

$S_6 = 9 \cdot 6 - 2 \cdot 6^2 = 54 - 2 \cdot 36 = 54 - 72 = -18$.

3. Теперь найдем седьмой член прогрессии как разность $S_7$ и $S_6$:

$a_7 = S_7 - S_6 = -35 - (-18) = -35 + 18 = -17$.

Альтернативный способ решения

Можно найти первый член $a_1$ и разность прогрессии $d$, а затем вычислить $a_7$ по общей формуле n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + d(n-1)$.

1. Первый член прогрессии $a_1$ равен сумме первого члена $S_1$:

$a_1 = S_1 = 9 \cdot 1 - 2 \cdot 1^2 = 9 - 2 = 7$.

2. Найдем второй член $a_2$. Для этого сначала найдем сумму первых двух членов $S_2$:

$S_2 = 9 \cdot 2 - 2 \cdot 2^2 = 18 - 8 = 10$.

Второй член $a_2$ равен $S_2 - S_1$:

$a_2 = S_2 - S_1 = 10 - 7 = 3$.

3. Теперь найдем разность арифметической прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 3 - 7 = -4$.

4. Зная $a_1=7$ и $d=-4$, вычислим седьмой член прогрессии:

$a_7 = a_1 + d \cdot (7-1) = 7 + (-4) \cdot 6 = 7 - 24 = -17$.

Оба метода приводят к одинаковому результату.

Ответ: -17