Номер 771, страница 225 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

771. Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии ($a_n$), если:

1) $a_1 = 6, a_9 = 22;$

2) $a_6 = 49, a_{20} = 7.$

1) Для нахождения суммы первых двенадцати членов арифметической прогрессии ($S_{12}$) используется формула суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$, где $a_1$ — это первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

В данном случае $n=12$, и формула принимает вид: $S_{12} = \frac{2a_1 + (12-1)d}{2} \cdot 12 = 6(2a_1 + 11d)$.

По условию задачи известны первый и девятый члены прогрессии: $a_1 = 6$ и $a_9 = 22$.

Сначала необходимо найти разность прогрессии $d$. Для этого воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

При $n=9$ получаем: $a_9 = a_1 + (9-1)d$.

Подставим известные значения в эту формулу:

$22 = 6 + 8d$

Теперь решим полученное уравнение относительно $d$:

$8d = 22 - 6$

$8d = 16$

$d = \frac{16}{8} = 2$

Теперь, зная $a_1 = 6$ и $d=2$, мы можем вычислить сумму $S_{12}$:

$S_{12} = 6(2a_1 + 11d) = 6(2 \cdot 6 + 11 \cdot 2) = 6(12 + 22) = 6 \cdot 34 = 204$.

Ответ: 204

2) Как и в предыдущем пункте, для нахождения $S_{12}$ нам нужно определить $a_1$ и $d$.

По условию даны шестой и двадцатый члены прогрессии: $a_6 = 49$ и $a_{20} = 7$.

Используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$, составим систему из двух уравнений:

Для $n=6$: $a_6 = a_1 + (6-1)d \Rightarrow 49 = a_1 + 5d$.

Для $n=20$: $a_{20} = a_1 + (20-1)d \Rightarrow 7 = a_1 + 19d$.

Получим систему уравнений:

$\begin{cases} a_1 + 5d = 49 \\ a_1 + 19d = 7 \end{cases}$

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти разность $d$:

$(a_1 + 19d) - (a_1 + 5d) = 7 - 49$

$14d = -42$

$d = \frac{-42}{14} = -3$

Теперь, зная $d$, подставим его значение в первое уравнение системы, чтобы найти $a_1$:

$a_1 + 5(-3) = 49$

$a_1 - 15 = 49$

$a_1 = 49 + 15 = 64$

Теперь, когда известны $a_1 = 64$ и $d=-3$, мы можем вычислить сумму $S_{12}$ по формуле $S_{12} = 6(2a_1 + 11d)$:

$S_{12} = 6(2 \cdot 64 + 11 \cdot (-3)) = 6(128 - 33) = 6 \cdot 95 = 570$.

Ответ: 570