Номер 768, страница 225 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

768. Дмитрий взял в библиотеке книгу. За первый день он прочитал 40 страниц, а за каждый следующий день читал на 10 страниц больше, чем за предыдущий. Сколько страниц в книге, если Дмитрий прочитал её за 7 дней?

Решение

Количество страниц, которые Дмитрий читал каждый день, представляет собой арифметическую прогрессию, так как оно ежедневно увеличивалось на одно и то же число. Чтобы найти общее количество страниц в книге, нам нужно найти сумму первых 7 членов этой прогрессии.

Основные параметры этой прогрессии:
- Первый член $a_1$ (количество страниц, прочитанных в первый день) равен 40.
- Разность $d$ (ежедневное увеличение количества страниц) равна 10.
- Количество членов $n$ (общее число дней) равно 7.

Для нахождения суммы можно использовать один из двух способов.

Способ 1: Использование формулы суммы через первый член и разность.

Формула суммы $S_n$ для первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.
Подставим наши значения:
$S_7 = \frac{2 \cdot 40 + 10 \cdot (7-1)}{2} \cdot 7$
$S_7 = \frac{80 + 10 \cdot 6}{2} \cdot 7$
$S_7 = \frac{80 + 60}{2} \cdot 7$
$S_7 = \frac{140}{2} \cdot 7 = 70 \cdot 7 = 490$.

Способ 2: Использование формулы суммы через первый и последний член.

Сначала найдем, сколько страниц Дмитрий прочитал в последний, седьмой день ($a_7$). Для этого используем формулу $n$-го члена прогрессии: $a_n = a_1 + d(n-1)$.
$a_7 = 40 + 10 \cdot (7-1) = 40 + 10 \cdot 6 = 40 + 60 = 100$ страниц.

Теперь применим формулу суммы через первый и последний члены: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_7 = \frac{40 + 100}{2} \cdot 7 = \frac{140}{2} \cdot 7 = 70 \cdot 7 = 490$ страниц.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Таким образом, в книге 490 страниц.

Ответ: 490 страниц.