Номер 1, страница 225 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как найти сумму $n$ первых членов арифметической прогрессии, если известны её первый и последний члены?

1. Чтобы найти сумму $n$ первых членов арифметической прогрессии ($S_n$), зная её первый ($a_1$) и последний ($a_n$) члены, необходимо использовать следующую формулу:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Эта формула означает, что сумма прогрессии равна произведению среднего арифметического её первого и последнего членов на количество членов.

Пояснение (вывод формулы):

Давайте запишем сумму $n$ членов прогрессии дважды: в прямом и в обратном порядке.

$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + a_n$

$S_n = a_n + a_{n-1} + \dots + a_2 + a_1$

Теперь сложим эти два равенства почленно. Каждый член из первой строки складывается с соответствующим членом из второй строки:

$2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \dots + (a_{n-1} + a_2) + (a_n + a_1)$

Ключевое свойство арифметической прогрессии заключается в том, что сумма двух членов, равноудаленных от концов, всегда одинакова и равна сумме первого и последнего членов: $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$. Например, $a_2 + a_{n-1} = (a_1 + d) + (a_n - d) = a_1 + a_n$, где $d$ — разность прогрессии.

Таким образом, каждая из $n$ пар в скобках в сумме дает $a_1 + a_n$. Следовательно, мы можем переписать сумму так:

$2S_n = (a_1 + a_n) \cdot n$

Разделив обе части уравнения на 2, мы получим итоговую формулу:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Пример:

Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Это арифметическая прогрессия, где $a_1 = 1$, последний член $a_{100} = 100$ и количество членов $n = 100$.

$S_{100} = \frac{1 + 100}{2} \cdot 100 = \frac{101}{2} \cdot 100 = 101 \cdot 50 = 5050$

Ответ: Сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии находится по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$, где $a_1$ — это первый член, $a_n$ — n-й член, а $n$ — количество членов.