Номер 757, страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

757. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 - 3y^2 = 46, \\ x + y = 6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - 2y^2 = -4, \\ x^2 + 2y^2 = 12. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - 3y^2 = 46, \\ x + y = 6. \end{cases} $$

Для решения этой системы используем метод подстановки. Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 6 - y$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(6 - y)^2 - 3y^2 = 46$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(36 - 12y + y^2) - 3y^2 = 46$

$36 - 12y - 2y^2 = 46$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$-2y^2 - 12y + 36 - 46 = 0$

$-2y^2 - 12y - 10 = 0$

Разделим обе части уравнения на -2, чтобы упростить его:

$y^2 + 6y + 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -6, а их произведение равно 5. Следовательно, корни уравнения:

$y_1 = -5$, $y_2 = -1$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого значения $y$, используя выражение $x = 6 - y$.

Если $y_1 = -5$, то:

$x_1 = 6 - (-5) = 6 + 5 = 11$

Первое решение: $(11, -5)$.

Если $y_2 = -1$, то:

$x_2 = 6 - (-1) = 6 + 1 = 7$

Второе решение: $(7, -1)$.

Ответ: $(11, -5), (7, -1)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - 2y^2 = -4, \\ x^2 + 2y^2 = 12. \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения, так как коэффициенты при $y^2$ являются противоположными числами.

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(x^2 - 2y^2) + (x^2 + 2y^2) = -4 + 12$

$2x^2 = 8$

Отсюда находим $x^2$:

$x^2 = 4$

Значит, $x$ может принимать два значения:

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Теперь подставим значение $x^2 = 4$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y^2$. Возьмем второе уравнение $x^2 + 2y^2 = 12$:

$4 + 2y^2 = 12$

$2y^2 = 12 - 4$

$2y^2 = 8$

$y^2 = 4$

Значит, $y$ также может принимать два значения:

$y_1 = 2$, $y_2 = -2$

Так как мы нашли значения для $x^2$ и $y^2$, решениями системы будут все возможные комбинации значений $x$ и $y$.

Получаем четыре пары решений:

$(2, 2)$, $(2, -2)$, $(-2, 2)$, $(-2, -2)$.

Ответ: $(2, 2), (2, -2), (-2, 2), (-2, -2)$.