Номер 755, страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

755. Докажите, что если положительные числа a, b и c – три последовательных члена арифметической прогрессии, то
$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} = \frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$

По условию задачи, положительные числа $a$, $b$ и $c$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Это означает, что разность между последующим и предыдущим членами постоянна. Обозначим эту разность как $d$. $$ b - a = d \quad \text{и} \quad c - b = d $$ Из этого следует важное для решения свойство: $b - a = c - b$.

Для доказательства тождества $$ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \frac{2}{\sqrt{a} + \sqrt{c}} $$ мы преобразуем его левую часть (ЛЧ) и покажем, что она равна правой части (ПЧ).

ЛЧ = $ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} $.

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателях каждой дроби. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное ее знаменателю.

Для первой дроби сопряженное выражение — $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$: $$ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} $$

Для второй дроби сопряженное выражение — $(\sqrt{b} - \sqrt{c})$: $$ \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{b} - \sqrt{c})}{(\sqrt{b} + \sqrt{c})(\sqrt{b} - \sqrt{c})} = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{c}}{b - c} $$

Теперь сложим полученные дроби. Из свойства арифметической прогрессии мы знаем, что $b - a = c - b$. Обозначим эту разность $d$. Тогда $a - b = -d$ и $b - c = d$. Подставим эти значения в знаменатели. $$ \text{ЛЧ} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{-d} + \frac{\sqrt{b} - \sqrt{c}}{d} = \frac{-(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{d} + \frac{\sqrt{b} - \sqrt{c}}{d} $$

Сложим дроби с общим знаменателем $d$: $$ \text{ЛЧ} = \frac{-\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{b} - \sqrt{c}}{d} = \frac{2\sqrt{b} - \sqrt{a} - \sqrt{c}}{d} $$

Это не самый простой путь. Вернемся на шаг назад и воспользуемся тем, что $b-a=c-b$, или $a-b = -(c-b) = b-c$. $$ \text{ЛЧ} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} + \frac{\sqrt{b} - \sqrt{c}}{b - c} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} - \frac{\sqrt{b} - \sqrt{c}}{a - b} $$ $$ \text{ЛЧ} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b}) - (\sqrt{b} - \sqrt{c})}{a - b} = \frac{\sqrt{a} - 2\sqrt{b} + \sqrt{c}}{a - b} $$ Данный путь также усложняется.

Рассмотрим другой подход, основанный на свойстве $2b = a+c$. Докажем, что заданное равенство равносильно свойству арифметической прогрессии. Перепишем равенство: $$ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{c}} = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{c}} - \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} $$

Приведем к общему знаменателю левую и правую части. Левая часть: $$ \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{c}) - (\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{c})} = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{c})} $$ Правая часть: $$ \frac{(\sqrt{b} + \sqrt{c}) - (\sqrt{a} + \sqrt{c})}{(\sqrt{a} + \sqrt{c})(\sqrt{b} + \sqrt{c})} = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{(\sqrt{a} + \sqrt{c})(\sqrt{b} + \sqrt{c})} $$

Приравниваем преобразованные части: $$ \frac{\sqrt{c} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{c})} = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{(\sqrt{a} + \sqrt{c})(\sqrt{b} + \sqrt{c})} $$

Поскольку $a, c > 0$, множитель $(\sqrt{a} + \sqrt{c})$ в знаменателе положителен и не равен нулю. Умножим обе части на него: $$ \frac{\sqrt{c} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} $$

Применим перекрестное умножение: $$ (\sqrt{c} - \sqrt{b})(\sqrt{b} + \sqrt{c}) = (\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) $$

Используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, получаем: $$ (\sqrt{c})^2 - (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{b})^2 - (\sqrt{a})^2 $$ $$ c - b = b - a $$

Это равенство является определением того, что $a, b, c$ — последовательные члены арифметической прогрессии. Так как это дано в условии, а все преобразования были равносильными (знаменатели не обращались в ноль, так как $a, b, c$ — положительные числа), то исходное тождество верно.

Ответ: Тождество доказано, поскольку оно равносильно основному свойству трех последовательных членов арифметической прогрессии.