Номер 749, страница 221 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

полученная последовательность арифметической прогрессии.

749. Докажите, что числа, равные соответственно суммам углов треугольника, четырёхугольника, пятиугольника и т. д., образуют арифметическую прогрессию.

Для доказательства того, что заданная последовательность чисел является арифметической прогрессией, необходимо показать, что разность между любыми двумя её последовательными членами постоянна.

Рассматриваемая последовательность состоит из чисел, равных суммам углов треугольника, четырехугольника, пятиугольника и так далее. Обозначим через $S_n$ сумму углов выпуклого многоугольника с $n$ сторонами. Из геометрии известна формула для вычисления этой суммы:

$S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$

где $n$ — количество сторон многоугольника, $n \ge 3$.

Наша последовательность чисел — это $S_3, S_4, S_5, \dots, S_n, S_{n+1}, \dots$

• Сумма углов треугольника ($n=3$): $S_3 = (3-2) \cdot 180^\circ = 180^\circ$.
• Сумма углов четырехугольника ($n=4$): $S_4 = (4-2) \cdot 180^\circ = 360^\circ$.
• Сумма углов пятиугольника ($n=5$): $S_5 = (5-2) \cdot 180^\circ = 540^\circ$.

Чтобы доказать, что эта последовательность является арифметической прогрессией, найдем разность между её соседними членами: $S_{n+1}$ и $S_n$. Член $S_{n+1}$ представляет собой сумму углов многоугольника с $n+1$ стороной.

$S_{n+1} = ((n+1)-2) \cdot 180^\circ = (n-1) \cdot 180^\circ$

Разность $d$ будет равна:

$d = S_{n+1} - S_n = (n-1) \cdot 180^\circ - (n-2) \cdot 180^\circ$

Вынесем общий множитель $180^\circ$ за скобки:

$d = ((n-1) - (n-2)) \cdot 180^\circ = (n-1-n+2) \cdot 180^\circ = 1 \cdot 180^\circ = 180^\circ$.

Разность между суммой углов $(n+1)$-угольника и $n$-угольника является постоянной величиной, равной $180^\circ$, для любого $n \ge 3$.

По определению, если разность между любым членом последовательности, начиная со второго, и предыдущим членом постоянна, то такая последовательность является арифметической прогрессией. В данном случае мы имеем дело с арифметической прогрессией, у которой первый член равен $180^\circ$, а разность равна $180^\circ$.

Ответ:

Последовательность, образованная суммами углов многоугольников ($S_n$), является арифметической прогрессией. Сумма углов $n$-угольника вычисляется по формуле $S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$. Разность между двумя соседними членами этой последовательности, $S_{n+1}$ и $S_n$, постоянна: $d = S_{n+1} - S_n = ((n+1)-2) \cdot 180^\circ - (n-2) \cdot 180^\circ = (n-1 - (n-2)) \cdot 180^\circ = 180^\circ$. Так как разность постоянна, последовательность является арифметической. Что и требовалось доказать.