Номер 743, страница 221 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

743. Является ли последовательность $(a_n)$ арифметической прогрессией, если она задана формулой n-го члена:

1) $a_n = -6n + 3$;

3) $a_n = -2,8n$;

2) $a_n = 2n^2 - n$;

4) $a_n = \frac{n}{n+1}$?

В случае утвердительного ответа укажите первый член и разность прогрессии.

1) $a_n = -6n + 3$
По определению, последовательность $(a_n)$ является арифметической прогрессией, если разность $d = a_{n+1} - a_n$ является постоянной величиной для любого натурального $n$.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив в формулу $n+1$ вместо $n$:
$a_{n+1} = -6(n+1) + 3 = -6n - 6 + 3 = -6n - 3$.
Теперь найдем разность между последующим и предыдущим членами:
$d = a_{n+1} - a_n = (-6n - 3) - (-6n + 3) = -6n - 3 + 6n - 3 = -6$.
Поскольку разность $d = -6$ является постоянной величиной (не зависит от $n$), данная последовательность является арифметической прогрессией.
В случае утвердительного ответа необходимо указать первый член и разность прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1$ найдем, подставив $n=1$ в исходную формулу:
$a_1 = -6(1) + 3 = -3$.
Разность прогрессии, как мы уже нашли, равна $d = -6$.
Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = -3$, разность $d = -6$.

2) $a_n = 2n^2 - n$
Проверим, является ли разность $d = a_{n+1} - a_n$ постоянной величиной.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = 2(n+1)^2 - (n+1) = 2(n^2 + 2n + 1) - n - 1 = 2n^2 + 4n + 2 - n - 1 = 2n^2 + 3n + 1$.
Найдем разность:
$d = a_{n+1} - a_n = (2n^2 + 3n + 1) - (2n^2 - n) = 2n^2 + 3n + 1 - 2n^2 + n = 4n + 1$.
Разность $d = 4n + 1$ зависит от номера члена $n$, следовательно, она не является постоянной. Таким образом, данная последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: Нет, не является.

3) $a_n = -2,8n$
Проверим, является ли разность $d = a_{n+1} - a_n$ постоянной величиной.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = -2,8(n+1) = -2,8n - 2,8$.
Найдем разность:
$d = a_{n+1} - a_n = (-2,8n - 2,8) - (-2,8n) = -2,8n - 2,8 + 2,8n = -2,8$.
Поскольку разность $d = -2,8$ является постоянной величиной, данная последовательность является арифметической прогрессией.
Найдем первый член прогрессии при $n=1$:
$a_1 = -2,8(1) = -2,8$.
Разность прогрессии $d = -2,8$.
Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = -2,8$, разность $d = -2,8$.

4) $a_n = \frac{n}{n+1}$
Проверим, является ли разность $d = a_{n+1} - a_n$ постоянной величиной.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)+1} = \frac{n+1}{n+2}$.
Найдем разность:
$d = a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)(n+1) - n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{(n^2+2n+1) - (n^2+2n)}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$.
Разность $d = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$ зависит от $n$, следовательно, она не является постоянной. Таким образом, данная последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: Нет, не является.