Номер 746, страница 221 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

746. Даны две бесконечные арифметические прогрессии. Если из каждого члена одной прогрессии вычесть соответствующий член другой, то будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся определением арифметической прогрессии и формулой ее n-го члена.

Пусть даны две бесконечные арифметические прогрессии: $\{a_n\}$ и $\{b_n\}$.

Формула n-го члена для первой прогрессии $\{a_n\}$ имеет вид:

$a_n = a_1 + (n-1)d_1$,

где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d_1$ — ее разность.

Формула n-го члена для второй прогрессии $\{b_n\}$ имеет вид:

$b_n = b_1 + (n-1)d_2$,

где $b_1$ — первый член прогрессии, а $d_2$ — ее разность.

По условию задачи, мы создаем новую последовательность $\{c_n\}$, каждый член которой равен разности соответствующих членов прогрессий $\{a_n\}$ и $\{b_n\}$:

$c_n = a_n - b_n$

Подставим формулы для $a_n$ и $b_n$ в это выражение:

$c_n = (a_1 + (n-1)d_1) - (b_1 + (n-1)d_2)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$c_n = a_1 + (n-1)d_1 - b_1 - (n-1)d_2$

$c_n = (a_1 - b_1) + (n-1)d_1 - (n-1)d_2$

$c_n = (a_1 - b_1) + (n-1)(d_1 - d_2)$

Полученное выражение является формулой n-го члена некоторой последовательности. Чтобы доказать, что эта последовательность является арифметической прогрессией, нужно показать, что разность между любым ее членом и предыдущим является постоянной величиной.

Найдем разность $c_{n+1} - c_n$.

Сначала запишем $(n+1)$-й член последовательности $\{c_n\}$:

$c_{n+1} = (a_1 - b_1) + ((n+1)-1)(d_1 - d_2) = (a_1 - b_1) + n(d_1 - d_2)$

Теперь вычтем $c_n$ из $c_{n+1}$:

$c_{n+1} - c_n = \left( (a_1 - b_1) + n(d_1 - d_2) \right) - \left( (a_1 - b_1) + (n-1)(d_1 - d_2) \right)$

$c_{n+1} - c_n = (a_1 - b_1) - (a_1 - b_1) + n(d_1 - d_2) - (n-1)(d_1 - d_2)$

$c_{n+1} - c_n = (n - (n-1))(d_1 - d_2)$

$c_{n+1} - c_n = (n - n + 1)(d_1 - d_2)$

$c_{n+1} - c_n = 1 \cdot (d_1 - d_2) = d_1 - d_2$

Разность двух последовательных членов $c_{n+1}$ и $c_n$ равна $d_1 - d_2$. Так как $d_1$ и $d_2$ являются постоянными числами (разностями исходных прогрессий), то их разность также является постоянной величиной, не зависящей от номера члена $n$.

Это доказывает, что полученная последовательность $\{c_n\}$ является арифметической прогрессией. Ее первый член равен $c_1 = a_1 - b_1$, а ее разность равна $d_c = d_1 - d_2$.

Ответ: Да, полученная последовательность будет арифметической прогрессией.