Номер 745, страница 221 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

745. Из арифметической прогрессии исключили члены с нечётными номерами. Образуют ли оставшиеся члены арифметическую прогрессию?

Пусть дана исходная арифметическая прогрессия $(a_n)$, первый член которой равен $a_1$, а разность равна $d$. Общая формула для n-го члена такой прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Исходная последовательность членов: $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, \ldots$

По условию задачи из прогрессии исключаются члены с нечётными номерами, то есть $a_1, a_3, a_5, \ldots, a_{2k-1}, \ldots$ Таким образом, в новой последовательности остаются только члены с чётными номерами: $a_2, a_4, a_6, a_8, \ldots, a_{2k}, \ldots$

Обозначим новую последовательность как $(b_k)$, где её k-й член $b_k$ соответствует члену $a_{2k}$ исходной прогрессии. Выразим несколько первых членов новой последовательности $(b_k)$ через $a_1$ и $d$:

Первый член: $b_1 = a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d$
Второй член: $b_2 = a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$
Третий член: $b_3 = a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$

Для того чтобы доказать, что последовательность $(b_k)$ является арифметической прогрессией, необходимо показать, что разность между любым её последующим и предыдущим членами является постоянной величиной. Найдём разность $b_{k+1} - b_k$.

Общий вид k-го члена новой последовательности: $b_k = a_{2k} = a_1 + (2k-1)d$.
Общий вид (k+1)-го члена новой последовательности: $b_{k+1} = a_{2(k+1)} = a_{2k+2} = a_1 + (2k+2-1)d = a_1 + (2k+1)d$.

Теперь вычислим их разность:
$d' = b_{k+1} - b_k = a_{2k+2} - a_{2k} = (a_1 + (2k+1)d) - (a_1 + (2k-1)d) = a_1 + 2kd + d - a_1 - 2kd + d = 2d$.

Так как разность $d'$ между любыми двумя соседними членами новой последовательности постоянна и равна $2d$ (удвоенной разности исходной прогрессии), то оставшиеся члены образуют арифметическую прогрессию.

Ответ: Да, оставшиеся члены образуют арифметическую прогрессию с разностью вдвое большей, чем у исходной прогрессии.