Номер 748, страница 221 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

748. Каждый член арифметической прогрессии умножили на 4. Будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией?

Да, полученная последовательность будет арифметической прогрессией. Приведем доказательство.

По определению, последовательность $(a_n)$ является арифметической прогрессией, если существует такое число $d$ (называемое разностью прогрессии), что для любого натурального $n$ выполняется равенство $a_{n+1} = a_n + d$.

Пусть у нас есть исходная арифметическая прогрессия $(a_n)$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Формула ее n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Согласно условию, мы создаем новую последовательность $(b_n)$, умножая каждый член прогрессии $(a_n)$ на 4. То есть, для любого $n$ справедливо $b_n = 4 \cdot a_n$.

Чтобы доказать, что $(b_n)$ также является арифметической прогрессией, нам нужно показать, что разность между любым ее последующим и предыдущим членом является постоянной величиной. Найдем эту разность: $b_{n+1} - b_n$.

Выразим $b_{n+1}$ и $b_n$ через члены исходной прогрессии:

$b_{n+1} = 4 \cdot a_{n+1}$

$b_n = 4 \cdot a_n$

Теперь вычислим их разность:

$b_{n+1} - b_n = 4 \cdot a_{n+1} - 4 \cdot a_n$

Вынесем общий множитель 4 за скобки:

$b_{n+1} - b_n = 4(a_{n+1} - a_n)$

Поскольку $(a_n)$ является арифметической прогрессией с разностью $d$, мы знаем, что $a_{n+1} - a_n = d$. Подставим это значение в наше выражение:

$b_{n+1} - b_n = 4d$

Мы получили, что разность между любыми двумя последовательными членами новой последовательности $(b_n)$ равна $4d$. Так как $d$ — это постоянное число (разность исходной прогрессии), то и $4d$ — тоже постоянное число.

Следовательно, новая последовательность $(b_n)$ является арифметической прогрессией, первый член которой равен $b_1 = 4a_1$, а разность равна $4d$.

Ответ: Да, полученная последовательность будет являться арифметической прогрессией.