Номер 754, страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

754. Докажите, что если числа $a$, $b$ и $c$ — три последовательных члена арифметической прогрессии, то:

1) $a^2 + 8bc = (2b + c)^2$;

2) $\frac{2}{9}(a+b+c)^3 = a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b)$.

Поскольку числа $a$, $b$ и $c$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии, для них справедливо характеристическое свойство: средний член равен полусумме соседних. То есть, $b = \frac{a+c}{2}$, откуда следует $2b = a+c$. Это соотношение мы будем использовать для доказательства обоих тождеств.

1) Докажем тождество $a^2 + 8bc = (2b + c)^2$.

Преобразуем правую часть равенства, используя свойство $2b = a+c$:

$(2b + c)^2 = ((a+c) + c)^2 = (a + 2c)^2 = a^2 + 4ac + 4c^2$.

Теперь преобразуем левую часть равенства. Для этого выразим $b$ из того же свойства: $b = \frac{a+c}{2}$.

$a^2 + 8bc = a^2 + 8\left(\frac{a+c}{2}\right)c = a^2 + 4(a+c)c = a^2 + 4ac + 4c^2$.

Левая и правая части равенства оказались тождественно равны: $a^2 + 4ac + 4c^2 = a^2 + 4ac + 4c^2$.

Таким образом, тождество $a^2 + 8bc = (2b + c)^2$ доказано.

Ответ: Доказано.

2) Докажем тождество $\frac{2}{9}(a + b + c)^3 = a^2(b + c) + b^2(a + c) + c^2(a + b)$.

Сначала преобразуем левую часть равенства. Используя свойство $a+c = 2b$, найдем сумму $a+b+c$:

$a + b + c = (a+c) + b = 2b + b = 3b$.

Подставим это выражение в левую часть исходного равенства:

$\frac{2}{9}(a + b + c)^3 = \frac{2}{9}(3b)^3 = \frac{2}{9} \cdot 27b^3 = 2 \cdot 3b^3 = 6b^3$.

Теперь преобразуем правую часть равенства $a^2(b + c) + b^2(a + c) + c^2(a + b)$.

Подставим в среднее слагаемое $a+c = 2b$:

$a^2(b + c) + b^2(2b) + c^2(a + b) = a^2(b + c) + 2b^3 + c^2(a + b)$.

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$a^2b + a^2c + 2b^3 + c^2a + c^2b = b(a^2 + c^2) + ac(a+c) + 2b^3$.

Снова используем свойство $a+c = 2b$:

$b(a^2 + c^2) + ac(2b) + 2b^3 = b(a^2 + 2ac + c^2) + 2b^3$.

Выражение в скобках является формулой полного квадрата суммы $(a+c)^2$:

$b(a+c)^2 + 2b^3$.

И в последний раз подставим $a+c = 2b$:

$b(2b)^2 + 2b^3 = b(4b^2) + 2b^3 = 4b^3 + 2b^3 = 6b^3$.

Левая часть равна $6b^3$ и правая часть также равна $6b^3$.

Таким образом, тождество $\frac{2}{9}(a + b + c)^3 = a^2(b + c) + b^2(a + c) + c^2(a + b)$ доказано.

Ответ: Доказано.