Номер 747, страница 221 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

747. Если из арифметической прогрессии, разность которой не равна нулю, исключить её члены, номера которых кратны трём, то будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией?

Пусть дана исходная арифметическая прогрессия $(a_n)$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$, причём по условию $d \neq 0$. Формула для n-го члена этой прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Из этой прогрессии исключают все члены, номера которых кратны трём. Это члены $a_3, a_6, a_9, \dots, a_{3k}, \dots$.

В результате образуется новая последовательность, назовем её $(b_m)$. Запишем несколько первых членов этой новой последовательности:

• $b_1 = a_1$
• $b_2 = a_2$
• $b_3 = a_4$ (поскольку член с номером 3 был исключен)
• $b_4 = a_5$
• $b_5 = a_7$ (поскольку член с номером 6 был исключен)
• $b_6 = a_8$

Для того чтобы последовательность $(b_m)$ была арифметической прогрессией, разность между любыми двумя её соседними членами должна быть постоянной. Проверим это условие, вычислив разности для нескольких пар соседних членов.

1. Разность между вторым и первым членами:$b_2 - b_1 = a_2 - a_1 = (a_1 + (2-1)d) - a_1 = a_1 + d - a_1 = d$.

2. Разность между третьим и вторым членами:$b_3 - b_2 = a_4 - a_2 = (a_1 + (4-1)d) - (a_1 + (2-1)d) = (a_1 + 3d) - (a_1 + d) = 2d$.

Уже на этом шаге видно, что разности получились разными. Поскольку по условию $d \neq 0$, то и $d \neq 2d$.Для полноты картины рассмотрим ещё одну разность.

3. Разность между четвёртым и третьим членами:$b_4 - b_3 = a_5 - a_4 = (a_1 + (5-1)d) - (a_1 + (4-1)d) = (a_1 + 4d) - (a_1 + 3d) = d$.

Разности между соседними членами новой последовательности не являются постоянной величиной, они чередуются: $d, 2d, d, 2d, \dots$. Следовательно, полученная последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, полученная последовательность не будет арифметической прогрессией, так как разность между её соседними членами не является постоянной.