Номер 752, страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

752. При каком значении $y$ значения выражений $y^2 - 2y$, $3y + 5$, $4y + 13$ и $2y^2 - y + 25$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть данные выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии, которые мы обозначим как $a_1, a_2, a_3, a_4$:
$a_1 = y^2 - 2y$
$a_2 = 3y + 5$
$a_3 = 4y + 13$
$a_4 = 2y^2 - y + 25$

Характеристическое свойство арифметической прогрессии гласит, что каждый ее член, начиная со второго, является средним арифметическим своих соседних членов. Для того чтобы все четыре выражения были последовательными членами одной арифметической прогрессии, это свойство должно выполняться для $a_2$ и $a_3$. Это дает нам систему из двух уравнений:
$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$
$a_3 = \frac{a_2 + a_4}{2}$

Рассмотрим первое уравнение, переписав его в виде $2a_2 = a_1 + a_3$. Подставим в него соответствующие выражения:
$2(3y + 5) = (y^2 - 2y) + (4y + 13)$
$6y + 10 = y^2 + 2y + 13$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$y^2 + 2y - 6y + 13 - 10 = 0$
$y^2 - 4y + 3 = 0$
Это уравнение можно решить, например, по теореме Виета: сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Отсюда находим корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 3$.

Теперь рассмотрим второе уравнение: $2a_3 = a_2 + a_4$. Подставим в него выражения:
$2(4y + 13) = (3y + 5) + (2y^2 - y + 25)$
$8y + 26 = 2y^2 + 2y + 30$
Приведем уравнение к стандартному виду:
$2y^2 + 2y - 8y + 30 - 26 = 0$
$2y^2 - 6y + 4 = 0$
Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:
$y^2 - 3y + 2 = 0$
По теореме Виета, сумма корней этого уравнения равна 3, а их произведение равно 2. Корнями являются: $y_3 = 1$ и $y_4 = 2$.

Чтобы все четыре выражения образовывали арифметическую прогрессию, значение $y$ должно быть общим решением для обоих полученных уравнений. Сравнивая наборы корней $\{1, 3\}$ и $\{1, 2\}$, мы видим, что единственным общим корнем является $y = 1$.

Найдем члены прогрессии, подставив значение $y = 1$ в исходные выражения:
$a_1 = (1)^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$
$a_2 = 3 \cdot 1 + 5 = 3 + 5 = 8$
$a_3 = 4 \cdot 1 + 13 = 4 + 13 = 17$
$a_4 = 2(1)^2 - 1 + 25 = 2 - 1 + 25 = 26$

Получилась последовательность: -1, 8, 17, 26.
Проверим, является ли она арифметической прогрессией, вычислив разность $d$ между соседними членами:
$d_1 = a_2 - a_1 = 8 - (-1) = 9$
$d_2 = a_3 - a_2 = 17 - 8 = 9$
$d_3 = a_4 - a_3 = 26 - 17 = 9$
Разность постоянна и равна 9, значит, последовательность действительно является арифметической прогрессией.

Ответ: при $y=1$ данные выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии; члены этой прогрессии: -1, 8, 17, 26.