Номер 750, страница 221 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

750. При каком значении $x$ значения выражений $x^2 - 4$, $5x + 3$ и $3x + 2$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть данные выражения $a_1 = x^2 - 4$, $a_2 = 5x + 3$ и $a_3 = 3x + 2$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, каждый ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и последующего членов. Это можно записать в виде формулы: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$ или, что эквивалентно, $2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$.

Применим это свойство к нашим трем членам:
$2a_2 = a_1 + a_3$
$2(5x + 3) = (x^2 - 4) + (3x + 2)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:
$10x + 6 = x^2 + 3x - 2$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 + 3x - 10x - 2 - 6 = 0$
$x^2 - 7x - 8 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 7$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -8$. Отсюда легко подобрать корни:
$x_1 = 8$
$x_2 = -1$

Таким образом, существует два значения $x$, при которых выражения образуют арифметическую прогрессию. Найдем члены прогрессии для каждого из этих значений.

При $x = 8$
Первый член: $a_1 = x^2 - 4 = 8^2 - 4 = 64 - 4 = 60$
Второй член: $a_2 = 5x + 3 = 5 \cdot 8 + 3 = 40 + 3 = 43$
Третий член: $a_3 = 3x + 2 = 3 \cdot 8 + 2 = 24 + 2 = 26$
Получаем последовательность: 60, 43, 26. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = -17$.
Ответ: при $x=8$ члены прогрессии равны 60, 43, 26.

При $x = -1$
Первый член: $a_1 = x^2 - 4 = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$
Второй член: $a_2 = 5x + 3 = 5 \cdot (-1) + 3 = -5 + 3 = -2$
Третий член: $a_3 = 3x + 2 = 3 \cdot (-1) + 2 = -3 + 2 = -1$
Получаем последовательность: -3, -2, -1. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 1$.
Ответ: при $x=-1$ члены прогрессии равны -3, -2, -1.