Номер 744, страница 221 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

744. Является ли последовательность $(a_n)$ арифметической прогрессией, если она задана формулой n-го члена:

1) $a_n = 6 + 7n;$

2) $a_n = \frac{2n - 1}{5};$

3) $a_n = \frac{1}{n} + 2?$

В случае утвердительного ответа укажите первый член и разность прогрессии.

По определению, последовательность $(a_n)$ является арифметической прогрессией, если для всех натуральных $n$ выполняется равенство $a_{n+1} = a_n + d$, где $d$ — некоторое число, называемое разностью прогрессии. Это равносильно тому, что разность $a_{n+1} - a_n$ является постоянной величиной (не зависит от $n$).

1) $a_n = 6 + 7n$

Чтобы проверить, является ли данная последовательность арифметической прогрессией, найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами.

Запишем формулу для $(n+1)$-го члена, подставив $n+1$ вместо $n$:
$a_{n+1} = 6 + 7(n+1) = 6 + 7n + 7 = 13 + 7n$.

Теперь найдем разность:
$d = a_{n+1} - a_n = (13 + 7n) - (6 + 7n) = 13 + 7n - 6 - 7n = 7$.

Разность $d=7$ является постоянной величиной, не зависящей от $n$. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$ в исходную формулу:
$a_1 = 6 + 7 \cdot 1 = 6 + 7 = 13$.

Разность прогрессии мы уже нашли: $d=7$.

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = 13$, разность $d = 7$.

2) $a_n = \frac{2n - 1}{5}$

Проверим, является ли разность $a_{n+1} - a_n$ постоянной.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = \frac{2(n+1) - 1}{5} = \frac{2n + 2 - 1}{5} = \frac{2n + 1}{5}$.

Найдем разность:
$d = a_{n+1} - a_n = \frac{2n + 1}{5} - \frac{2n - 1}{5} = \frac{(2n + 1) - (2n - 1)}{5} = \frac{2n + 1 - 2n + 1}{5} = \frac{2}{5}$.

Разность $d = \frac{2}{5}$ является постоянной. Значит, последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем ее первый член ($n=1$):
$a_1 = \frac{2 \cdot 1 - 1}{5} = \frac{1}{5}$.

Разность прогрессии $d = \frac{2}{5}$.

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = \frac{1}{5}$, разность $d = \frac{2}{5}$.

3) $a_n = \frac{1}{n} + 2$

Проверим, является ли разность $a_{n+1} - a_n$ постоянной.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = \frac{1}{n+1} + 2$.

Найдем разность:
$a_{n+1} - a_n = \left(\frac{1}{n+1} + 2\right) - \left(\frac{1}{n} + 2\right) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n}$.

Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n}{n(n+1)} - \frac{n+1}{n(n+1)} = \frac{n - (n+1)}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)}$.

Разность $a_{n+1} - a_n = \frac{-1}{n(n+1)}$ зависит от $n$, то есть не является постоянной. Например, $a_2 - a_1 = \frac{-1}{1(1+1)} = -\frac{1}{2}$, а $a_3 - a_2 = \frac{-1}{2(2+1)} = -\frac{1}{6}$. Так как $-\frac{1}{2} \neq -\frac{1}{6}$, последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, не является.