Номер 738, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

738. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

1) $a_5 + a_{12} = 41$ и $a_{10} + a_{14} = 62$;

2) $a_7 + a_{13} = -104$ и $a_2 \cdot a_6 = -240$.

1) Для нахождения первого члена $a_1$ и разности $d$ арифметической прогрессии воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Нам даны два условия в виде уравнений:

$a_5 + a_{12} = 41$

$a_{10} + a_{14} = 62$

Выразим каждый член прогрессии в этих уравнениях через $a_1$ и $d$:

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

$a_{12} = a_1 + (12-1)d = a_1 + 11d$

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$

$a_{14} = a_1 + (14-1)d = a_1 + 13d$

Подставим эти выражения в исходные уравнения и получим систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

1. $(a_1 + 4d) + (a_1 + 11d) = 41 \implies 2a_1 + 15d = 41$

2. $(a_1 + 9d) + (a_1 + 13d) = 62 \implies 2a_1 + 22d = 62$

Получаем систему:

$\begin{cases} 2a_1 + 15d = 41 \\ 2a_1 + 22d = 62 \end{cases}$

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго:

$(2a_1 + 22d) - (2a_1 + 15d) = 62 - 41$

$7d = 21$

$d = \frac{21}{7} = 3$

Теперь, зная разность $d$, найдем первый член $a_1$, подставив значение $d$ в любое из уравнений системы. Возьмем первое уравнение:

$2a_1 + 15 \cdot 3 = 41$

$2a_1 + 45 = 41$

$2a_1 = 41 - 45$

$2a_1 = -4$

$a_1 = \frac{-4}{2} = -2$

Проверка: $a_1 = -2$, $d=3$.

$a_5 + a_{12} = (-2+4\cdot3) + (-2+11\cdot3) = 10 + 31 = 41$.

$a_{10} + a_{14} = (-2+9\cdot3) + (-2+13\cdot3) = 25 + 37 = 62$.

Оба условия выполняются.

Ответ: $a_1 = -2$, $d = 3$.

2) Условия для этого пункта:

$a_7 + a_{13} = -104$

$a_2 \cdot a_6 = -240$

Снова используем формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$. Начнем с первого уравнения:

$(a_1 + (7-1)d) + (a_1 + (13-1)d) = -104$

$(a_1 + 6d) + (a_1 + 12d) = -104$

$2a_1 + 18d = -104$

Разделим обе части уравнения на 2:

$a_1 + 9d = -52$

Из этого уравнения выразим $a_1$ через $d$:

$a_1 = -52 - 9d$

Теперь преобразуем второе уравнение:

$a_2 = a_1 + d$

$a_6 = a_1 + 5d$

Подставим эти выражения в уравнение $a_2 \cdot a_6 = -240$:

$(a_1 + d)(a_1 + 5d) = -240$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $a_1$, полученное ранее ($a_1 = -52 - 9d$):

$(-52 - 9d + d)(-52 - 9d + 5d) = -240$

$(-52 - 8d)(-52 - 4d) = -240$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$(-4)(13 + 2d) \cdot (-4)(13 + d) = -240$

$16(13 + 2d)(13 + d) = -240$

$(13 + 2d)(13 + d) = \frac{-240}{16} = -15$

Раскроем скобки в левой части:

$169 + 13d + 26d + 2d^2 = -15$

$2d^2 + 39d + 169 + 15 = 0$

$2d^2 + 39d + 184 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $d$. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 39^2 - 4 \cdot 2 \cdot 184 = 1521 - 1472 = 49 = 7^2$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$d_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-39 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-46}{4} = -11.5$

$d_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-39 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{-32}{4} = -8$

Таким образом, у задачи есть два возможных решения. Для каждого значения $d$ найдем соответствующее $a_1$ по формуле $a_1 = -52 - 9d$.

Случай 1: Если $d = -8$

$a_1 = -52 - 9(-8) = -52 + 72 = 20$

Случай 2: Если $d = -11.5$

$a_1 = -52 - 9(-11.5) = -52 + 103.5 = 51.5$

Оба набора значений удовлетворяют исходным условиям.

Ответ: $a_1 = 20, d = -8$ или $a_1 = 51.5, d = -11.5$.