Номер 737, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

737. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

1) $a_3 + a_7 = 30$ и $a_6 + a_{16} = 60;$

2) $a_4 + a_{10} = 36$ и $a_5 \cdot a_{11} = 340.$

1)

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Сначала выразим члены прогрессии, данные в условии, через $a_1$ и $d$:

$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$

$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$

$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$

$a_{16} = a_1 + (16-1)d = a_1 + 15d$

Теперь подставим эти выражения в данные уравнения, чтобы составить систему:

Из первого уравнения $a_3 + a_7 = 30$ получаем:

$(a_1 + 2d) + (a_1 + 6d) = 30$

$2a_1 + 8d = 30$

Из второго уравнения $a_6 + a_{16} = 60$ получаем:

$(a_1 + 5d) + (a_1 + 15d) = 60$

$2a_1 + 20d = 60$

У нас получилась система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\\begin{cases} 2a_1 + 8d = 30 \\\\ 2a_1 + 20d = 60 \\end{cases}$

Для упрощения разделим оба уравнения на 2:

$\\begin{cases} a_1 + 4d = 15 \\\\ a_1 + 10d = 30 \\end{cases}$

Теперь решим систему. Вычтем первое уравнение из второго:

$(a_1 + 10d) - (a_1 + 4d) = 30 - 15$

$6d = 15$

$d = \\frac{15}{6} = \\frac{5}{2} = 2.5$

Подставим найденное значение $d$ в первое упрощенное уравнение ($a_1 + 4d = 15$), чтобы найти $a_1$:

$a_1 + 4(2.5) = 15$

$a_1 + 10 = 15$

$a_1 = 5$

Ответ: $a_1 = 5, d = 2.5$.

2)

Так же, как и в первом пункте, используем формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$. Выразим нужные нам члены прогрессии:

$a_4 = a_1 + 3d$

$a_{10} = a_1 + 9d$

$a_5 = a_1 + 4d$

$a_{11} = a_1 + 10d$

Подставим эти выражения в первое уравнение $a_4 + a_{10} = 36$:

$(a_1 + 3d) + (a_1 + 9d) = 36$

$2a_1 + 12d = 36$

Разделим обе части уравнения на 2:

$a_1 + 6d = 18$

Из этого уравнения выразим $a_1$ через $d$:

$a_1 = 18 - 6d$

Теперь подставим это выражение для $a_1$ во второе уравнение $a_5 \cdot a_{11} = 340$:

$(a_1 + 4d) \cdot (a_1 + 10d) = 340$

$((18 - 6d) + 4d) \cdot ((18 - 6d) + 10d) = 340$

$(18 - 2d) \cdot (18 + 4d) = 340$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$18 \cdot 18 + 18 \cdot 4d - 2d \cdot 18 - 2d \cdot 4d = 340$

$324 + 72d - 36d - 8d^2 = 340$

$324 + 36d - 8d^2 = 340$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$-8d^2 + 36d + 324 - 340 = 0$

$-8d^2 + 36d - 16 = 0$

Разделим все уравнение на -4 для упрощения:

$2d^2 - 9d + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $d$, например, с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$

Найдем корни уравнения:

$d_1 = \\frac{-b + \\sqrt{D}}{2a} = \\frac{9 + \\sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \\frac{9 + 7}{4} = \\frac{16}{4} = 4$

$d_2 = \\frac{-b - \\sqrt{D}}{2a} = \\frac{9 - \\sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \\frac{9 - 7}{4} = \\frac{2}{4} = 0.5$

Мы получили два возможных значения для разности прогрессии. Для каждого из них найдем соответствующий первый член $a_1$, используя ранее полученную формулу $a_1 = 18 - 6d$.

Случай 1: если $d = 4$

$a_1 = 18 - 6 \cdot 4 = 18 - 24 = -6$

Случай 2: если $d = 0.5$

$a_1 = 18 - 6 \cdot 0.5 = 18 - 3 = 15$

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две пары значений ($a_1, d$).

Ответ: $a_1 = -6, d = 4$ или $a_1 = 15, d = 0.5$.