Номер 731, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 22. Арифметическая прогрессия. Глава 4. Числовые последовательности - номер 731, страница 220.

Условия.

731. Как изменится разность конечной арифметической прогрессии, если переставить её члены в обратном порядке?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

731.

Пусть дана конечная арифметическая прогрессия $(a_n)$, состоящая из $n$ членов: $a_1, a_2, \dots, a_n$. Разностью этой прогрессии является число $d$. По определению арифметической прогрессии, разность между любым последующим и предыдущим членом постоянна и равна $d$:

$d = a_{k+1} - a_k$ для любого натурального $k$ от $1$ до $n-1$.

Теперь составим новую последовательность $(b_n)$, переставив члены исходной прогрессии в обратном порядке. Члены новой последовательности будут следующими: $b_1, b_2, \dots, b_n$, где:

$b_1 = a_n$, $b_2 = a_{n-1}$, и в общем виде $b_k = a_{n-k+1}$.

Чтобы определить, как изменилась разность, найдем разность $d'$ новой последовательности. Для этого вычтем из произвольного $(k+1)$-го члена $k$-й член (для $1 \le k < n$):

$d' = b_{k+1} - b_k$

Подставим в это равенство выражения для членов $b_k$ и $b_{k+1}$ через члены исходной прогрессии $(a_n)$:

$b_{k+1} = a_{n-(k+1)+1} = a_{n-k}$

$b_k = a_{n-k+1}$

Следовательно, разность $d'$ равна:

$d' = a_{n-k} - a_{n-k+1}$

Чтобы сравнить полученное выражение с разностью $d$ исходной прогрессии, вынесем знак минус за скобки:

$d' = -(a_{n-k+1} - a_{n-k})$

Выражение в скобках, $a_{n-k+1} - a_{n-k}$, является разностью между $(n-k+1)$-м и $(n-k)$-м членами исходной прогрессии. По определению, эта разность равна $d$.

Таким образом, мы получаем, что разность новой последовательности $d'$ связана с разностью исходной прогрессии $d$ следующим соотношением:

$d' = -d$

Это доказывает, что последовательность, полученная перестановкой членов арифметической прогрессии в обратном порядке, также является арифметической прогрессией. Ее разность равна разности исходной прогрессии, но с противоположным знаком.

Ответ: Разность конечной арифметической прогрессии изменит свой знак на противоположный.