Номер 724, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

724. Найдите формулу n-го члена арифметической прогрессии:

1) $-5, -7, -9, -11, ...;$

2) $2, 2 \frac{1}{6}, 2 \frac{1}{3}, 2 \frac{1}{2}, ...;$

3) $a^2, 2a^2, 3a^2, 4a^2, ...;$

4) $a + 3, a + 1, a - 1, a - 3, ... .$

Для нахождения формулы n-го члена арифметической прогрессии используется общая формула: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_n$ — n-й член прогрессии, $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

1) Для последовательности $-5, -7, -9, -11, ...$

Первый член прогрессии $a_1 = -5$.

Найдем разность прогрессии, вычтя из второго члена первый: $d = a_2 - a_1 = -7 - (-5) = -7 + 5 = -2$.

Подставим найденные значения $a_1$ и $d$ в общую формулу:

$a_n = -5 + (n-1)(-2)$

Упростим полученное выражение:

$a_n = -5 - 2n + 2 = -3 - 2n$.

Ответ: $a_n = -3 - 2n$.

2) Для последовательности $2, 2\frac{1}{6}, 2\frac{1}{3}, 2\frac{1}{2}, ...$

Первый член прогрессии $a_1 = 2$.

Найдем разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = 2\frac{1}{6} - 2 = \frac{1}{6}$.

Подставим значения в общую формулу:

$a_n = 2 + (n-1)\frac{1}{6}$

Упростим выражение, приведя к общему знаменателю:

$a_n = 2 + \frac{n-1}{6} = \frac{12}{6} + \frac{n-1}{6} = \frac{12 + n - 1}{6} = \frac{n+11}{6}$.

Ответ: $a_n = \frac{n+11}{6}$.

3) Для последовательности $a^2, 2a^2, 3a^2, 4a^2, ...$

Первый член прогрессии $a_1 = a^2$.

Найдем разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = 2a^2 - a^2 = a^2$.

Подставим значения в общую формулу:

$a_n = a^2 + (n-1)a^2$

Упростим выражение:

$a_n = a^2 + na^2 - a^2 = na^2$.

Ответ: $a_n = na^2$.

4) Для последовательности $a+3, a+1, a-1, a-3, ...$

Первый член прогрессии $a_1 = a+3$.

Найдем разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = (a+1) - (a+3) = a+1-a-3 = -2$.

Подставим значения в общую формулу:

$a_n = (a+3) + (n-1)(-2)$

Упростим выражение:

$a_n = a+3 - 2n + 2 = a+5 - 2n$.

Ответ: $a_n = a+5 - 2n$.