Номер 727, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

727. Найдите второй член арифметической прогрессии, если первый и третий члены равны соответственно $-6$ и $12$.

Пусть дана арифметическая прогрессия $a_n$. По условию задачи, нам известны её первый и третий члены:
$a_1 = -6$
$a_3 = 12$
Требуется найти второй член этой прогрессии, $a_2$. Для решения можно воспользоваться одним из двух способов.

Способ 1: Использование характеристического свойства арифметической прогрессии

Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, каждый её член (начиная со второго) является средним арифметическим соседних с ним членов. Для второго члена $a_2$ это означает, что он равен среднему арифметическому первого ($a_1$) и третьего ($a_3$) членов.
Формула выглядит следующим образом:
$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$
Подставим известные значения в эту формулу:
$a_2 = \frac{-6 + 12}{2}$
$a_2 = \frac{6}{2}$
$a_2 = 3$
Ответ: 3

Способ 2: Нахождение разности прогрессии

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $d$ – разность прогрессии.
Используем эту формулу для третьего члена $a_3$:
$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$
Подставим известные значения $a_1 = -6$ и $a_3 = 12$ в полученное уравнение:
$12 = -6 + 2d$
Теперь решим это уравнение относительно $d$:
$2d = 12 - (-6)$
$2d = 12 + 6$
$2d = 18$
$d = \frac{18}{2} = 9$
Мы нашли разность прогрессии, она равна 9. Теперь, чтобы найти второй член $a_2$, нужно к первому члену $a_1$ прибавить разность $d$:
$a_2 = a_1 + d$
$a_2 = -6 + 9$
$a_2 = 3$
Ответ: 3