Номер 725, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

725. Является ли членом арифметической прогрессии ($c_n$):

1) число 20,4, если $c_1 = 11,4$, а разность прогрессии $d = 0,6$;

2) число 38, если $c_1 = 8$, а разность прогрессии $d = 1,4$?

В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

Для того чтобы определить, является ли некоторое число членом арифметической прогрессии, мы используем формулу n-го члена прогрессии. Формула имеет вид:

$c_n = c_1 + (n-1)d$

Здесь $c_n$ — это n-й член прогрессии, $c_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — порядковый номер члена.

Чтобы проверить, принадлежит ли число прогрессии, нужно подставить его вместо $c_n$ в формулу и решить уравнение относительно $n$. Если полученное значение $n$ является натуральным числом (то есть целым и положительным), то число является членом прогрессии, а $n$ — его номер. В противном случае — не является.

1)

Проверим, является ли число 20,4 членом арифметической прогрессии $(c_n)$, в которой первый член $c_1 = 11,4$ и разность $d = 0,6$.

Подставим известные значения в формулу:

$20,4 = 11,4 + (n-1) \cdot 0,6$

Выразим и найдем $n$:

$(n-1) \cdot 0,6 = 20,4 - 11,4$

$(n-1) \cdot 0,6 = 9$

$n-1 = \frac{9}{0,6}$

$n-1 = \frac{90}{6}$

$n-1 = 15$

$n = 15 + 1$

$n = 16$

Так как $n = 16$ является натуральным числом, то число 20,4 является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: да, является. Номер этого члена равен 16.

2)

Проверим, является ли число 38 членом арифметической прогрессии $(c_n)$, в которой первый член $c_1 = 8$ и разность $d = 1,4$.

Подставим известные значения в формулу:

$38 = 8 + (n-1) \cdot 1,4$

Выразим и найдем $n$:

$(n-1) \cdot 1,4 = 38 - 8$

$(n-1) \cdot 1,4 = 30$

$n-1 = \frac{30}{1,4}$

$n-1 = \frac{300}{14}$

$n-1 = \frac{150}{7}$

Поскольку $\frac{150}{7}$ не является целым числом ($150 \div 7 = 21$ с остатком 3), то и значение $n$ не будет натуральным числом:

$n = \frac{150}{7} + 1 = \frac{150}{7} + \frac{7}{7} = \frac{157}{7} \approx 22,43$

Так как номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, число 38 не является членом данной прогрессии.

Ответ: нет, не является.