Номер 740, страница 221 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

740. Докажите, что значения выражений $(a + b)^2$, $a^2 + b^2$, $(a - b)^2$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Для того чтобы доказать, что три выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии, необходимо показать, что средний член равен среднему арифметическому двух других (крайних) членов.

Обозначим данные выражения как три последовательных члена: $x_1 = (a + b)^2$, $x_2 = a^2 + b^2$ и $x_3 = (a - b)^2$.

Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, для трех последовательных членов должно выполняться равенство: $x_2 = \frac{x_1 + x_3}{2}$. Проверим это.

Найдем сумму первого и третьего членов, используя формулы сокращенного умножения (квадрат суммы и квадрат разности):
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Сложим первое и третье выражения:
$x_1 + x_3 = (a + b)^2 + (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)$

Приведем подобные слагаемые в полученной сумме:
$x_1 + x_3 = a^2 + a^2 + 2ab - 2ab + b^2 + b^2 = 2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2)$

Теперь найдем среднее арифметическое первого и третьего членов:
$\frac{x_1 + x_3}{2} = \frac{2(a^2 + b^2)}{2} = a^2 + b^2$

Сравним полученный результат со вторым (средним) членом $x_2$:
$x_2 = a^2 + b^2$

Мы видим, что $\frac{x_1 + x_3}{2} = x_2$. Так как средний член $a^2 + b^2$ равен среднему арифметическому крайних членов $(a + b)^2$ и $(a - b)^2$, это доказывает, что данные выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ: Утверждение доказано. Средний член $a^2 + b^2$ является средним арифметическим двух других членов: $\frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{2} = \frac{(a^2+2ab+b^2)+(a^2-2ab+b^2)}{2} = \frac{2a^2+2b^2}{2} = a^2+b^2$. Следовательно, данные выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии.