Номер 741, страница 221 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Рис. 105

741. Верно ли утверждение: если длины сторон выпуклого четырёхугольника (рис. 105), взятые в последовательности $a, b, c$ и $d$, образуют арифметическую прогрессию, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность?

740. Чтобы доказать, что три числа являются последовательными членами арифметической прогрессии, достаточно показать, что средний член равен среднему арифметическому двух крайних.
Пусть наши три выражения это $x_1 = (a + b)^2$, $x_2 = a^2 + b^2$ и $x_3 = (a - b)^2$.
Проверим, выполняется ли равенство $x_2 = \frac{x_1 + x_3}{2}$.
Найдем среднее арифметическое первого и третьего выражений:
$\frac{x_1 + x_3}{2} = \frac{(a + b)^2 + (a - b)^2}{2}$
Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$\frac{(a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)}{2}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{a^2 + a^2 + 2ab - 2ab + b^2 + b^2}{2} = \frac{2a^2 + 2b^2}{2}$
Сократим дробь:
$\frac{2(a^2 + b^2)}{2} = a^2 + b^2$
Полученное выражение в точности равно второму члену последовательности, $x_2$.
Так как $x_2 = \frac{x_1 + x_3}{2}$, то выражения $(a + b)^2$, $a^2 + b^2$, $(a - b)^2$ являются последовательными членами арифметической прогрессии, что и требовалось доказать. Разность этой прогрессии равна $x_2 - x_1 = (a^2+b^2) - (a^2+2ab+b^2) = -2ab$.
Ответ: Доказано.

741. Утверждение неверно.
Для того чтобы в выпуклый четырёхугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противолежащих сторон были равны (теорема Пито). Для четырёхугольника со сторонами $a, b, c, d$ должно выполняться равенство:
$a + c = b + d$
По условию задачи, длины сторон $a, b, c, d$ образуют арифметическую прогрессию. Обозначим первый член прогрессии как $a_1$ (то есть $a = a_1$), а разность прогрессии как $k$. Тогда длины сторон можно выразить следующим образом:
$a = a_1$
$b = a_1 + k$
$c = a_1 + 2k$
$d = a_1 + 3k$
Теперь подставим эти выражения в условие для вписанной окружности:
$a + c = a_1 + (a_1 + 2k) = 2a_1 + 2k$
$b + d = (a_1 + k) + (a_1 + 3k) = 2a_1 + 4k$
Приравняем суммы противолежащих сторон:
$2a_1 + 2k = 2a_1 + 4k$
$2k = 4k$
$2k = 0$
$k = 0$
Это означает, что равенство $a + c = b + d$ выполняется только в том случае, если разность арифметической прогрессии равна нулю ($k=0$). В этом случае все стороны четырёхугольника равны ($a=b=c=d$), и он является ромбом, в который действительно всегда можно вписать окружность.
Однако, если разность прогрессии не равна нулю ($k \neq 0$), то равенство не выполняется ($a+c \neq b+d$), и в такой четырёхугольник нельзя вписать окружность.
Контрпример:
Пусть стороны четырёхугольника равны $a=2, b=3, c=4, d=5$. Эти числа образуют арифметическую прогрессию с разностью $k=1$. Проверим условие для вписанной окружности:
$a + c = 2 + 4 = 6$
$b + d = 3 + 5 = 8$
Так как $6 \neq 8$, в такой четырёхугольник нельзя вписать окружность.
Ответ: Нет, утверждение неверно.