Страница 221 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

739. В каких случаях для членов арифметической прогрессии выполняется

равенство $a_1 a_4 = a_2^2$?

Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Для решения задачи выразим члены прогрессии $a_2$ и $a_4$, участвующие в равенстве, через $a_1$ и $d$:

$a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d$

$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$

Теперь подставим полученные выражения в исходное равенство $a_1 a_4 = a_2^2$:

$a_1(a_1 + 3d) = (a_1 + d)^2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$a_1^2 + 3a_1d = a_1^2 + 2a_1d + d^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$a_1^2 + 3a_1d - a_1^2 - 2a_1d - d^2 = 0$

$a_1d - d^2 = 0$

Вынесем общий множитель $d$ за скобки:

$d(a_1 - d) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда мы получаем два возможных случая, при которых выполняется исходное равенство.

Случай 1: $d = 0$.

Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все члены прогрессии равны её первому члену, то есть $a_n = a_1$ для любого натурального $n$. Такая прогрессия является постоянной последовательностью: $a_1, a_1, a_1, a_1, \dots$.
Проверим исходное равенство для этого случая: $a_1 \cdot a_4 = a_1 \cdot a_1 = a_1^2$. А $a_2^2 = (a_1)^2 = a_1^2$.
Получаем тождество $a_1^2 = a_1^2$. Следовательно, равенство выполняется для любой арифметической прогрессии с нулевой разностью.

Случай 2: $a_1 - d = 0$.

Это условие означает, что $a_1 = d$, то есть первый член прогрессии равен её разности. Такая прогрессия имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d = d + (n-1)d = nd$.
Её члены: $d, 2d, 3d, 4d, \dots$.
Проверим исходное равенство для этого случая:
$a_1 a_4 = d \cdot (4d) = 4d^2$
$a_2^2 = (2d)^2 = 4d^2$
Получаем тождество $4d^2 = 4d^2$. Следовательно, равенство выполняется для любой арифметической прогрессии, у которой первый член равен её разности.

Ответ: Равенство $a_1 a_4 = a_2^2$ для членов арифметической прогрессии выполняется в двух случаях: 1) если разность прогрессии равна нулю ($d=0$); 2) если первый член прогрессии равен её разности ($a_1=d$).

740. Докажите, что значения выражений $(a + b)^2$, $a^2 + b^2$, $(a - b)^2$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Для того чтобы доказать, что три выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии, необходимо показать, что средний член равен среднему арифметическому двух других (крайних) членов.

Обозначим данные выражения как три последовательных члена: $x_1 = (a + b)^2$, $x_2 = a^2 + b^2$ и $x_3 = (a - b)^2$.

Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, для трех последовательных членов должно выполняться равенство: $x_2 = \frac{x_1 + x_3}{2}$. Проверим это.

Найдем сумму первого и третьего членов, используя формулы сокращенного умножения (квадрат суммы и квадрат разности):
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Сложим первое и третье выражения:
$x_1 + x_3 = (a + b)^2 + (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)$

Приведем подобные слагаемые в полученной сумме:
$x_1 + x_3 = a^2 + a^2 + 2ab - 2ab + b^2 + b^2 = 2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2)$

Теперь найдем среднее арифметическое первого и третьего членов:
$\frac{x_1 + x_3}{2} = \frac{2(a^2 + b^2)}{2} = a^2 + b^2$

Сравним полученный результат со вторым (средним) членом $x_2$:
$x_2 = a^2 + b^2$

Мы видим, что $\frac{x_1 + x_3}{2} = x_2$. Так как средний член $a^2 + b^2$ равен среднему арифметическому крайних членов $(a + b)^2$ и $(a - b)^2$, это доказывает, что данные выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ: Утверждение доказано. Средний член $a^2 + b^2$ является средним арифметическим двух других членов: $\frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{2} = \frac{(a^2+2ab+b^2)+(a^2-2ab+b^2)}{2} = \frac{2a^2+2b^2}{2} = a^2+b^2$. Следовательно, данные выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Рис. 105

741. Верно ли утверждение: если длины сторон выпуклого четырёхугольника (рис. 105), взятые в последовательности $a, b, c$ и $d$, образуют арифметическую прогрессию, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность?

740. Чтобы доказать, что три числа являются последовательными членами арифметической прогрессии, достаточно показать, что средний член равен среднему арифметическому двух крайних.
Пусть наши три выражения это $x_1 = (a + b)^2$, $x_2 = a^2 + b^2$ и $x_3 = (a - b)^2$.
Проверим, выполняется ли равенство $x_2 = \frac{x_1 + x_3}{2}$.
Найдем среднее арифметическое первого и третьего выражений:
$\frac{x_1 + x_3}{2} = \frac{(a + b)^2 + (a - b)^2}{2}$
Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$\frac{(a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)}{2}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{a^2 + a^2 + 2ab - 2ab + b^2 + b^2}{2} = \frac{2a^2 + 2b^2}{2}$
Сократим дробь:
$\frac{2(a^2 + b^2)}{2} = a^2 + b^2$
Полученное выражение в точности равно второму члену последовательности, $x_2$.
Так как $x_2 = \frac{x_1 + x_3}{2}$, то выражения $(a + b)^2$, $a^2 + b^2$, $(a - b)^2$ являются последовательными членами арифметической прогрессии, что и требовалось доказать. Разность этой прогрессии равна $x_2 - x_1 = (a^2+b^2) - (a^2+2ab+b^2) = -2ab$.
Ответ: Доказано.

741. Утверждение неверно.
Для того чтобы в выпуклый четырёхугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противолежащих сторон были равны (теорема Пито). Для четырёхугольника со сторонами $a, b, c, d$ должно выполняться равенство:
$a + c = b + d$
По условию задачи, длины сторон $a, b, c, d$ образуют арифметическую прогрессию. Обозначим первый член прогрессии как $a_1$ (то есть $a = a_1$), а разность прогрессии как $k$. Тогда длины сторон можно выразить следующим образом:
$a = a_1$
$b = a_1 + k$
$c = a_1 + 2k$
$d = a_1 + 3k$
Теперь подставим эти выражения в условие для вписанной окружности:
$a + c = a_1 + (a_1 + 2k) = 2a_1 + 2k$
$b + d = (a_1 + k) + (a_1 + 3k) = 2a_1 + 4k$
Приравняем суммы противолежащих сторон:
$2a_1 + 2k = 2a_1 + 4k$
$2k = 4k$
$2k = 0$
$k = 0$
Это означает, что равенство $a + c = b + d$ выполняется только в том случае, если разность арифметической прогрессии равна нулю ($k=0$). В этом случае все стороны четырёхугольника равны ($a=b=c=d$), и он является ромбом, в который действительно всегда можно вписать окружность.
Однако, если разность прогрессии не равна нулю ($k \neq 0$), то равенство не выполняется ($a+c \neq b+d$), и в такой четырёхугольник нельзя вписать окружность.
Контрпример:
Пусть стороны четырёхугольника равны $a=2, b=3, c=4, d=5$. Эти числа образуют арифметическую прогрессию с разностью $k=1$. Проверим условие для вписанной окружности:
$a + c = 2 + 4 = 6$
$b + d = 3 + 5 = 8$
Так как $6 \neq 8$, в такой четырёхугольник нельзя вписать окружность.
Ответ: Нет, утверждение неверно.

742. Величины углов треугольника образуют арифметическую прогрессию. Какова градусная мера среднего по величине угла треугольника?

Пусть три угла треугольника, образующие арифметическую прогрессию, равны $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$.
Поскольку они образуют арифметическую прогрессию, их можно представить в виде:
$\alpha_1 = a - d$
$\alpha_2 = a$
$\alpha_3 = a + d$
где $a$ — средний по величине угол, а $d$ — разность прогрессии.

Известно, что сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ}$. Составим уравнение:
$\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 180^{\circ}$
Подставим наши выражения для углов:
$(a - d) + a + (a + d) = 180^{\circ}$
Упростим выражение. Разности $d$ и $-d$ взаимно уничтожаются:
$3a = 180^{\circ}$
Теперь найдем значение $a$, которое является средним по величине углом:
$a = \frac{180^{\circ}}{3}$
$a = 60^{\circ}$
Таким образом, градусная мера среднего по величине угла треугольника составляет $60^{\circ}$.

Ответ: $60^{\circ}$.

743. Является ли последовательность $(a_n)$ арифметической прогрессией, если она задана формулой n-го члена:

1) $a_n = -6n + 3$;

3) $a_n = -2,8n$;

2) $a_n = 2n^2 - n$;

4) $a_n = \frac{n}{n+1}$?

В случае утвердительного ответа укажите первый член и разность прогрессии.

1) $a_n = -6n + 3$
По определению, последовательность $(a_n)$ является арифметической прогрессией, если разность $d = a_{n+1} - a_n$ является постоянной величиной для любого натурального $n$.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив в формулу $n+1$ вместо $n$:
$a_{n+1} = -6(n+1) + 3 = -6n - 6 + 3 = -6n - 3$.
Теперь найдем разность между последующим и предыдущим членами:
$d = a_{n+1} - a_n = (-6n - 3) - (-6n + 3) = -6n - 3 + 6n - 3 = -6$.
Поскольку разность $d = -6$ является постоянной величиной (не зависит от $n$), данная последовательность является арифметической прогрессией.
В случае утвердительного ответа необходимо указать первый член и разность прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1$ найдем, подставив $n=1$ в исходную формулу:
$a_1 = -6(1) + 3 = -3$.
Разность прогрессии, как мы уже нашли, равна $d = -6$.
Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = -3$, разность $d = -6$.

2) $a_n = 2n^2 - n$
Проверим, является ли разность $d = a_{n+1} - a_n$ постоянной величиной.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = 2(n+1)^2 - (n+1) = 2(n^2 + 2n + 1) - n - 1 = 2n^2 + 4n + 2 - n - 1 = 2n^2 + 3n + 1$.
Найдем разность:
$d = a_{n+1} - a_n = (2n^2 + 3n + 1) - (2n^2 - n) = 2n^2 + 3n + 1 - 2n^2 + n = 4n + 1$.
Разность $d = 4n + 1$ зависит от номера члена $n$, следовательно, она не является постоянной. Таким образом, данная последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: Нет, не является.

3) $a_n = -2,8n$
Проверим, является ли разность $d = a_{n+1} - a_n$ постоянной величиной.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = -2,8(n+1) = -2,8n - 2,8$.
Найдем разность:
$d = a_{n+1} - a_n = (-2,8n - 2,8) - (-2,8n) = -2,8n - 2,8 + 2,8n = -2,8$.
Поскольку разность $d = -2,8$ является постоянной величиной, данная последовательность является арифметической прогрессией.
Найдем первый член прогрессии при $n=1$:
$a_1 = -2,8(1) = -2,8$.
Разность прогрессии $d = -2,8$.
Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = -2,8$, разность $d = -2,8$.

4) $a_n = \frac{n}{n+1}$
Проверим, является ли разность $d = a_{n+1} - a_n$ постоянной величиной.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)+1} = \frac{n+1}{n+2}$.
Найдем разность:
$d = a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)(n+1) - n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{(n^2+2n+1) - (n^2+2n)}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$.
Разность $d = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$ зависит от $n$, следовательно, она не является постоянной. Таким образом, данная последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: Нет, не является.

744. Является ли последовательность $(a_n)$ арифметической прогрессией, если она задана формулой n-го члена:

1) $a_n = 6 + 7n;$

2) $a_n = \frac{2n - 1}{5};$

3) $a_n = \frac{1}{n} + 2?$

В случае утвердительного ответа укажите первый член и разность прогрессии.

По определению, последовательность $(a_n)$ является арифметической прогрессией, если для всех натуральных $n$ выполняется равенство $a_{n+1} = a_n + d$, где $d$ — некоторое число, называемое разностью прогрессии. Это равносильно тому, что разность $a_{n+1} - a_n$ является постоянной величиной (не зависит от $n$).

1) $a_n = 6 + 7n$

Чтобы проверить, является ли данная последовательность арифметической прогрессией, найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами.

Запишем формулу для $(n+1)$-го члена, подставив $n+1$ вместо $n$:
$a_{n+1} = 6 + 7(n+1) = 6 + 7n + 7 = 13 + 7n$.

Теперь найдем разность:
$d = a_{n+1} - a_n = (13 + 7n) - (6 + 7n) = 13 + 7n - 6 - 7n = 7$.

Разность $d=7$ является постоянной величиной, не зависящей от $n$. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$ в исходную формулу:
$a_1 = 6 + 7 \cdot 1 = 6 + 7 = 13$.

Разность прогрессии мы уже нашли: $d=7$.

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = 13$, разность $d = 7$.

2) $a_n = \frac{2n - 1}{5}$

Проверим, является ли разность $a_{n+1} - a_n$ постоянной.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = \frac{2(n+1) - 1}{5} = \frac{2n + 2 - 1}{5} = \frac{2n + 1}{5}$.

Найдем разность:
$d = a_{n+1} - a_n = \frac{2n + 1}{5} - \frac{2n - 1}{5} = \frac{(2n + 1) - (2n - 1)}{5} = \frac{2n + 1 - 2n + 1}{5} = \frac{2}{5}$.

Разность $d = \frac{2}{5}$ является постоянной. Значит, последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем ее первый член ($n=1$):
$a_1 = \frac{2 \cdot 1 - 1}{5} = \frac{1}{5}$.

Разность прогрессии $d = \frac{2}{5}$.

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = \frac{1}{5}$, разность $d = \frac{2}{5}$.

3) $a_n = \frac{1}{n} + 2$

Проверим, является ли разность $a_{n+1} - a_n$ постоянной.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = \frac{1}{n+1} + 2$.

Найдем разность:
$a_{n+1} - a_n = \left(\frac{1}{n+1} + 2\right) - \left(\frac{1}{n} + 2\right) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n}$.

Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n}{n(n+1)} - \frac{n+1}{n(n+1)} = \frac{n - (n+1)}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)}$.

Разность $a_{n+1} - a_n = \frac{-1}{n(n+1)}$ зависит от $n$, то есть не является постоянной. Например, $a_2 - a_1 = \frac{-1}{1(1+1)} = -\frac{1}{2}$, а $a_3 - a_2 = \frac{-1}{2(2+1)} = -\frac{1}{6}$. Так как $-\frac{1}{2} \neq -\frac{1}{6}$, последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, не является.

745. Из арифметической прогрессии исключили члены с нечётными номерами. Образуют ли оставшиеся члены арифметическую прогрессию?

Пусть дана исходная арифметическая прогрессия $(a_n)$, первый член которой равен $a_1$, а разность равна $d$. Общая формула для n-го члена такой прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Исходная последовательность членов: $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, \ldots$

По условию задачи из прогрессии исключаются члены с нечётными номерами, то есть $a_1, a_3, a_5, \ldots, a_{2k-1}, \ldots$ Таким образом, в новой последовательности остаются только члены с чётными номерами: $a_2, a_4, a_6, a_8, \ldots, a_{2k}, \ldots$

Обозначим новую последовательность как $(b_k)$, где её k-й член $b_k$ соответствует члену $a_{2k}$ исходной прогрессии. Выразим несколько первых членов новой последовательности $(b_k)$ через $a_1$ и $d$:

Первый член: $b_1 = a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d$
Второй член: $b_2 = a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$
Третий член: $b_3 = a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$

Для того чтобы доказать, что последовательность $(b_k)$ является арифметической прогрессией, необходимо показать, что разность между любым её последующим и предыдущим членами является постоянной величиной. Найдём разность $b_{k+1} - b_k$.

Общий вид k-го члена новой последовательности: $b_k = a_{2k} = a_1 + (2k-1)d$.
Общий вид (k+1)-го члена новой последовательности: $b_{k+1} = a_{2(k+1)} = a_{2k+2} = a_1 + (2k+2-1)d = a_1 + (2k+1)d$.

Теперь вычислим их разность:
$d' = b_{k+1} - b_k = a_{2k+2} - a_{2k} = (a_1 + (2k+1)d) - (a_1 + (2k-1)d) = a_1 + 2kd + d - a_1 - 2kd + d = 2d$.

Так как разность $d'$ между любыми двумя соседними членами новой последовательности постоянна и равна $2d$ (удвоенной разности исходной прогрессии), то оставшиеся члены образуют арифметическую прогрессию.

Ответ: Да, оставшиеся члены образуют арифметическую прогрессию с разностью вдвое большей, чем у исходной прогрессии.

746. Даны две бесконечные арифметические прогрессии. Если из каждого члена одной прогрессии вычесть соответствующий член другой, то будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся определением арифметической прогрессии и формулой ее n-го члена.

Пусть даны две бесконечные арифметические прогрессии: $\{a_n\}$ и $\{b_n\}$.

Формула n-го члена для первой прогрессии $\{a_n\}$ имеет вид:

$a_n = a_1 + (n-1)d_1$,

где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d_1$ — ее разность.

Формула n-го члена для второй прогрессии $\{b_n\}$ имеет вид:

$b_n = b_1 + (n-1)d_2$,

где $b_1$ — первый член прогрессии, а $d_2$ — ее разность.

По условию задачи, мы создаем новую последовательность $\{c_n\}$, каждый член которой равен разности соответствующих членов прогрессий $\{a_n\}$ и $\{b_n\}$:

$c_n = a_n - b_n$

Подставим формулы для $a_n$ и $b_n$ в это выражение:

$c_n = (a_1 + (n-1)d_1) - (b_1 + (n-1)d_2)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$c_n = a_1 + (n-1)d_1 - b_1 - (n-1)d_2$

$c_n = (a_1 - b_1) + (n-1)d_1 - (n-1)d_2$

$c_n = (a_1 - b_1) + (n-1)(d_1 - d_2)$

Полученное выражение является формулой n-го члена некоторой последовательности. Чтобы доказать, что эта последовательность является арифметической прогрессией, нужно показать, что разность между любым ее членом и предыдущим является постоянной величиной.

Найдем разность $c_{n+1} - c_n$.

Сначала запишем $(n+1)$-й член последовательности $\{c_n\}$:

$c_{n+1} = (a_1 - b_1) + ((n+1)-1)(d_1 - d_2) = (a_1 - b_1) + n(d_1 - d_2)$

Теперь вычтем $c_n$ из $c_{n+1}$:

$c_{n+1} - c_n = \left( (a_1 - b_1) + n(d_1 - d_2) \right) - \left( (a_1 - b_1) + (n-1)(d_1 - d_2) \right)$

$c_{n+1} - c_n = (a_1 - b_1) - (a_1 - b_1) + n(d_1 - d_2) - (n-1)(d_1 - d_2)$

$c_{n+1} - c_n = (n - (n-1))(d_1 - d_2)$

$c_{n+1} - c_n = (n - n + 1)(d_1 - d_2)$

$c_{n+1} - c_n = 1 \cdot (d_1 - d_2) = d_1 - d_2$

Разность двух последовательных членов $c_{n+1}$ и $c_n$ равна $d_1 - d_2$. Так как $d_1$ и $d_2$ являются постоянными числами (разностями исходных прогрессий), то их разность также является постоянной величиной, не зависящей от номера члена $n$.

Это доказывает, что полученная последовательность $\{c_n\}$ является арифметической прогрессией. Ее первый член равен $c_1 = a_1 - b_1$, а ее разность равна $d_c = d_1 - d_2$.

Ответ: Да, полученная последовательность будет арифметической прогрессией.

747. Если из арифметической прогрессии, разность которой не равна нулю, исключить её члены, номера которых кратны трём, то будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией?

Пусть дана исходная арифметическая прогрессия $(a_n)$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$, причём по условию $d \neq 0$. Формула для n-го члена этой прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Из этой прогрессии исключают все члены, номера которых кратны трём. Это члены $a_3, a_6, a_9, \dots, a_{3k}, \dots$.

В результате образуется новая последовательность, назовем её $(b_m)$. Запишем несколько первых членов этой новой последовательности:

• $b_1 = a_1$
• $b_2 = a_2$
• $b_3 = a_4$ (поскольку член с номером 3 был исключен)
• $b_4 = a_5$
• $b_5 = a_7$ (поскольку член с номером 6 был исключен)
• $b_6 = a_8$

Для того чтобы последовательность $(b_m)$ была арифметической прогрессией, разность между любыми двумя её соседними членами должна быть постоянной. Проверим это условие, вычислив разности для нескольких пар соседних членов.

1. Разность между вторым и первым членами:$b_2 - b_1 = a_2 - a_1 = (a_1 + (2-1)d) - a_1 = a_1 + d - a_1 = d$.

2. Разность между третьим и вторым членами:$b_3 - b_2 = a_4 - a_2 = (a_1 + (4-1)d) - (a_1 + (2-1)d) = (a_1 + 3d) - (a_1 + d) = 2d$.

Уже на этом шаге видно, что разности получились разными. Поскольку по условию $d \neq 0$, то и $d \neq 2d$.Для полноты картины рассмотрим ещё одну разность.

3. Разность между четвёртым и третьим членами:$b_4 - b_3 = a_5 - a_4 = (a_1 + (5-1)d) - (a_1 + (4-1)d) = (a_1 + 4d) - (a_1 + 3d) = d$.

Разности между соседними членами новой последовательности не являются постоянной величиной, они чередуются: $d, 2d, d, 2d, \dots$. Следовательно, полученная последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, полученная последовательность не будет арифметической прогрессией, так как разность между её соседними членами не является постоянной.

748. Каждый член арифметической прогрессии умножили на 4. Будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией?

Да, полученная последовательность будет арифметической прогрессией. Приведем доказательство.

По определению, последовательность $(a_n)$ является арифметической прогрессией, если существует такое число $d$ (называемое разностью прогрессии), что для любого натурального $n$ выполняется равенство $a_{n+1} = a_n + d$.

Пусть у нас есть исходная арифметическая прогрессия $(a_n)$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Формула ее n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Согласно условию, мы создаем новую последовательность $(b_n)$, умножая каждый член прогрессии $(a_n)$ на 4. То есть, для любого $n$ справедливо $b_n = 4 \cdot a_n$.

Чтобы доказать, что $(b_n)$ также является арифметической прогрессией, нам нужно показать, что разность между любым ее последующим и предыдущим членом является постоянной величиной. Найдем эту разность: $b_{n+1} - b_n$.

Выразим $b_{n+1}$ и $b_n$ через члены исходной прогрессии:

$b_{n+1} = 4 \cdot a_{n+1}$

$b_n = 4 \cdot a_n$

Теперь вычислим их разность:

$b_{n+1} - b_n = 4 \cdot a_{n+1} - 4 \cdot a_n$

Вынесем общий множитель 4 за скобки:

$b_{n+1} - b_n = 4(a_{n+1} - a_n)$

Поскольку $(a_n)$ является арифметической прогрессией с разностью $d$, мы знаем, что $a_{n+1} - a_n = d$. Подставим это значение в наше выражение:

$b_{n+1} - b_n = 4d$

Мы получили, что разность между любыми двумя последовательными членами новой последовательности $(b_n)$ равна $4d$. Так как $d$ — это постоянное число (разность исходной прогрессии), то и $4d$ — тоже постоянное число.

Следовательно, новая последовательность $(b_n)$ является арифметической прогрессией, первый член которой равен $b_1 = 4a_1$, а разность равна $4d$.

Ответ: Да, полученная последовательность будет являться арифметической прогрессией.

полученная последовательность арифметической прогрессии.

749. Докажите, что числа, равные соответственно суммам углов треугольника, четырёхугольника, пятиугольника и т. д., образуют арифметическую прогрессию.

Для доказательства того, что заданная последовательность чисел является арифметической прогрессией, необходимо показать, что разность между любыми двумя её последовательными членами постоянна.

Рассматриваемая последовательность состоит из чисел, равных суммам углов треугольника, четырехугольника, пятиугольника и так далее. Обозначим через $S_n$ сумму углов выпуклого многоугольника с $n$ сторонами. Из геометрии известна формула для вычисления этой суммы:

$S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$

где $n$ — количество сторон многоугольника, $n \ge 3$.

Наша последовательность чисел — это $S_3, S_4, S_5, \dots, S_n, S_{n+1}, \dots$

• Сумма углов треугольника ($n=3$): $S_3 = (3-2) \cdot 180^\circ = 180^\circ$.
• Сумма углов четырехугольника ($n=4$): $S_4 = (4-2) \cdot 180^\circ = 360^\circ$.
• Сумма углов пятиугольника ($n=5$): $S_5 = (5-2) \cdot 180^\circ = 540^\circ$.

Чтобы доказать, что эта последовательность является арифметической прогрессией, найдем разность между её соседними членами: $S_{n+1}$ и $S_n$. Член $S_{n+1}$ представляет собой сумму углов многоугольника с $n+1$ стороной.

$S_{n+1} = ((n+1)-2) \cdot 180^\circ = (n-1) \cdot 180^\circ$

Разность $d$ будет равна:

$d = S_{n+1} - S_n = (n-1) \cdot 180^\circ - (n-2) \cdot 180^\circ$

Вынесем общий множитель $180^\circ$ за скобки:

$d = ((n-1) - (n-2)) \cdot 180^\circ = (n-1-n+2) \cdot 180^\circ = 1 \cdot 180^\circ = 180^\circ$.

Разность между суммой углов $(n+1)$-угольника и $n$-угольника является постоянной величиной, равной $180^\circ$, для любого $n \ge 3$.

По определению, если разность между любым членом последовательности, начиная со второго, и предыдущим членом постоянна, то такая последовательность является арифметической прогрессией. В данном случае мы имеем дело с арифметической прогрессией, у которой первый член равен $180^\circ$, а разность равна $180^\circ$.

Ответ:

Последовательность, образованная суммами углов многоугольников ($S_n$), является арифметической прогрессией. Сумма углов $n$-угольника вычисляется по формуле $S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$. Разность между двумя соседними членами этой последовательности, $S_{n+1}$ и $S_n$, постоянна: $d = S_{n+1} - S_n = ((n+1)-2) \cdot 180^\circ - (n-2) \cdot 180^\circ = (n-1 - (n-2)) \cdot 180^\circ = 180^\circ$. Так как разность постоянна, последовательность является арифметической. Что и требовалось доказать.

750. При каком значении $x$ значения выражений $x^2 - 4$, $5x + 3$ и $3x + 2$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть данные выражения $a_1 = x^2 - 4$, $a_2 = 5x + 3$ и $a_3 = 3x + 2$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, каждый ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и последующего членов. Это можно записать в виде формулы: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$ или, что эквивалентно, $2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$.

Применим это свойство к нашим трем членам:
$2a_2 = a_1 + a_3$
$2(5x + 3) = (x^2 - 4) + (3x + 2)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:
$10x + 6 = x^2 + 3x - 2$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 + 3x - 10x - 2 - 6 = 0$
$x^2 - 7x - 8 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 7$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -8$. Отсюда легко подобрать корни:
$x_1 = 8$
$x_2 = -1$

Таким образом, существует два значения $x$, при которых выражения образуют арифметическую прогрессию. Найдем члены прогрессии для каждого из этих значений.

При $x = 8$
Первый член: $a_1 = x^2 - 4 = 8^2 - 4 = 64 - 4 = 60$
Второй член: $a_2 = 5x + 3 = 5 \cdot 8 + 3 = 40 + 3 = 43$
Третий член: $a_3 = 3x + 2 = 3 \cdot 8 + 2 = 24 + 2 = 26$
Получаем последовательность: 60, 43, 26. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = -17$.
Ответ: при $x=8$ члены прогрессии равны 60, 43, 26.

При $x = -1$
Первый член: $a_1 = x^2 - 4 = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$
Второй член: $a_2 = 5x + 3 = 5 \cdot (-1) + 3 = -5 + 3 = -2$
Третий член: $a_3 = 3x + 2 = 3 \cdot (-1) + 2 = -3 + 2 = -1$
Получаем последовательность: -3, -2, -1. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 1$.
Ответ: при $x=-1$ члены прогрессии равны -3, -2, -1.