Страница 219 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какую последовательность называют арифметической прогрессией?

Арифметической прогрессией называют числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Это постоянное число, которое прибавляется, называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой $d$.

Таким образом, для любого натурального номера $n$ в арифметической прогрессии $\{a_n\}$ выполняется рекуррентное соотношение:$a_{n+1} = a_n + d$.

Из этого определения следуют ключевые формулы и свойства:
- Разность прогрессии находится как разница между любым последующим и предыдущим членом: $d = a_{n+1} - a_n$.
- Формула n-го члена позволяет найти любой член прогрессии, зная её первый член $a_1$ и разность $d$: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
- Характеристическое свойство: каждый член прогрессии (кроме первого и, если она конечна, последнего) равен среднему арифметическому своих "соседей": $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$ для $n \ge 2$.

В зависимости от знака разности $d$, арифметическая прогрессия может быть:
1. Возрастающей, если $d > 0$. Пример: последовательность 3, 7, 11, 15, ... является возрастающей арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = 3$ и разностью $d = 4$.
2. Убывающей, если $d < 0$. Пример: последовательность 20, 18, 16, 14, ... является убывающей арифметической прогрессией с $a_1 = 20$ и разностью $d = -2$.
3. Стационарной, если $d = 0$. В этом случае все члены последовательности равны друг другу. Пример: 5, 5, 5, 5, ... с $a_1 = 5$ и разностью $d = 0$.

Ответ: Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавлено одно и то же число (разность прогрессии).

2. Какое число называют разностью арифметической прогрессии? Как обозначают это число?

Какое число называют разностью арифметической прогрессии?

Разностью арифметической прогрессии называют постоянное число, на которое каждый следующий член этой последовательности отличается от предыдущего. Если к любому члену прогрессии прибавить это число (разность), получится следующий за ним член.

Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, то есть последовательность чисел $a_1, a_2, a_3, \dots$. Тогда её разность, обозначаемая как $d$, определяется так, что для любого натурального номера $n$ выполняется равенство: $a_{n+1} = a_n + d$.

В зависимости от знака разности $d$, арифметическая прогрессия является возрастающей, если $d > 0$ (каждый следующий член больше предыдущего); убывающей, если $d < 0$ (каждый следующий член меньше предыдущего); или стационарной (постоянной), если $d = 0$ (все члены прогрессии равны между собой).

Как обозначают это число?

Разность арифметической прогрессии принято обозначать строчной латинской буквой $d$.

Чтобы найти разность прогрессии, нужно из любого её члена, начиная со второго, вычесть предыдущий член. Формула для нахождения разности:

$d = a_{n+1} - a_n$

Например:

Для арифметической прогрессии 2, 5, 8, 11, ... разность $d$ будет равна $d = 5 - 2 = 3$.

Для арифметической прогрессии 12, 10, 8, 6, ... разность $d$ будет равна $d = 10 - 12 = -2$.

Ответ: Разностью арифметической прогрессии называют постоянное число, равное разности между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом. Обозначают это число латинской буквой $d$.

3. Что надо указать, чтобы задать арифметическую прогрессию?

Чтобы однозначно задать арифметическую прогрессию, то есть иметь возможность найти любой её член, необходимо и достаточно указать два ключевых параметра: первый член прогрессии и её разность.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, обозначаемая как ($a_1, a_2, \dots, a_n, \dots$), в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью прогрессии и обозначается буквой $d$.

Таким образом, зная первый член $a_1$ (начальное значение) и разность $d$ (шаг, с которым изменяются члены), мы можем определить всю последовательность. Формула для нахождения любого n-го члена прогрессии выглядит так:
$a_n = a_1 + (n-1)d$

Эта формула показывает, что для определения любого члена $a_n$ достаточно знать только $a_1$ и $d$. Например, если нам дано, что $a_1 = 10$ и $d = 3$, мы можем сразу сказать, что это прогрессия 10, 13, 16, 19, ... и найти, к примеру, сотый член: $a_{100} = 10 + (100-1) \cdot 3 = 10 + 99 \cdot 3 = 10 + 297 = 307$.

Хотя существуют и другие способы задания прогрессии (например, указание любых двух её членов), все они в конечном итоге сводятся к нахождению именно этих двух фундаментальных параметров — первого члена и разности.

Ответ: Чтобы задать арифметическую прогрессию, надо указать её первый член и разность.

4. Как можно задать арифметическую прогрессию рекуррентно?

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой каждый последующий член, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему одного и того же числа. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой $d$.

Задать последовательность рекуррентно – значит указать правило, по которому можно вычислить любой её член, зная один или несколько предыдущих членов. Для этого необходимо:

• Задать начальные условия, то есть первый член последовательности (или несколько первых членов).
• Задать рекуррентную формулу, которая связывает следующий член с предыдущим (или предыдущими).

Исходя из определения арифметической прогрессии, её рекуррентное задание выглядит следующим образом. Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия.

1. Задается её первый член $a_1$.
2. Каждый следующий член, начиная со второго, вычисляется по формуле, выражающей его через предыдущий член и разность прогрессии $d$:
   $a_{n+1} = a_n + d$

Эта формула верна для любого натурального $n \ge 1$. Иногда её записывают в эквивалентном виде: $a_n = a_{n-1} + d$ (для $n \ge 2$).

Пример:

Допустим, нам нужно задать арифметическую прогрессию, у которой первый член равен 7, а разность равна 4.

• Начальное условие: $a_1 = 7$.
• Рекуррентная формула: $a_{n+1} = a_n + 4$.

Используя эту формулу, мы можем последовательно найти члены прогрессии:

• $a_2 = a_1 + 4 = 7 + 4 = 11$
• $a_3 = a_2 + 4 = 11 + 4 = 15$
• $a_4 = a_3 + 4 = 15 + 4 = 19$
• ... и так далее.

Таким образом, мы получаем последовательность 7, 11, 15, 19, ...

Ответ: Арифметическую прогрессию можно задать рекуррентно, указав ее первый член $a_1$ и разность $d$, с помощью формулы $a_{n+1} = a_n + d$.

5. Какой вид имеет формула $n$-го члена арифметической прогрессии?

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это постоянное число называется разностью прогрессии и обозначается буквой $d$.

Чтобы найти любой член прогрессии (n-й член), зная её первый член и разность, используется специальная формула.

Обозначим первый член прогрессии как $a_1$, а разность как $d$. Тогда по определению арифметической прогрессии:

• Второй член: $a_2 = a_1 + d$
• Третий член: $a_3 = a_2 + d = (a_1 + d) + d = a_1 + 2d$
• Четвертый член: $a_4 = a_3 + d = (a_1 + 2d) + d = a_1 + 3d$
• ...
• n-й член: $a_n = a_{n-1} + d = a_1 + (n-1)d$

Как видно из этой закономерности, чтобы получить n-й член, нужно к первому члену $a_1$ прибавить разность $d$ ровно $(n-1)$ раз.

Формула для нахождения любого члена арифметической прогрессии с номером $n$ имеет следующий вид:

$a_n = a_1 + d(n-1)$

где:

• $a_n$ — это n-й член прогрессии (тот, который мы ищем).
• $a_1$ — это первый член прогрессии.
• $d$ — это разность прогрессии.
• $n$ — это порядковый номер искомого члена.

Эта формула является основной для работы с арифметическими прогрессиями и позволяет найти значение любого члена последовательности, не вычисляя все предыдущие.

Ответ: $a_n = a_1 + d(n-1)$

6. Как связаны между собой любой член арифметической прогрессии и соседние с ним члены?

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену одного и того же числа. Это постоянное число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой $d$.

Рассмотрим произвольный член арифметической прогрессии $a_n$ (для $n > 1$). Члены, стоящие рядом с ним, называются соседними: это предыдущий член $a_{n-1}$ и последующий член $a_{n+1}$.

Связь между этими членами напрямую следует из определения арифметической прогрессии:

• Последующий член $a_{n+1}$ равен текущему члену $a_n$ плюс разность прогрессии $d$: $a_{n+1} = a_n + d$.
• Текущий член $a_n$ равен предыдущему члену $a_{n-1}$ плюс разность прогрессии $d$: $a_n = a_{n-1} + d$.

Из этих двух равенств можно установить ключевое свойство, связывающее любой член прогрессии с его соседями. Это свойство называется характеристическим свойством арифметической прогрессии.

Давайте его выведем. Выразим разность $d$ из обоих уравнений:

$d = a_{n+1} - a_n$

$d = a_n - a_{n-1}$

Поскольку разность $d$ — это постоянная величина, мы можем приравнять правые части этих выражений:

$a_{n+1} - a_n = a_n - a_{n-1}$

Теперь перенесем члены так, чтобы выразить $a_n$:

$a_{n+1} + a_{n-1} = a_n + a_n$

$a_{n+1} + a_{n-1} = 2a_n$

Разделив обе части на 2, получим итоговую формулу:

$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

Эта формула показывает, что любой член арифметической прогрессии (кроме первого и последнего, если она конечна) равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов.

Пример: Возьмем арифметическую прогрессию: 5, 9, 13, 17, 21, ... Здесь разность $d=4$. Рассмотрим член $a_3 = 13$. Его соседи: $a_2 = 9$ и $a_4 = 17$. Проверим по формуле: $a_3 = \frac{a_2 + a_4}{2} = \frac{9 + 17}{2} = \frac{26}{2} = 13$. Как мы видим, равенство выполняется.

Ответ: Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим своих соседних членов (предыдущего и последующего). Математически эта связь выражается формулой: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$.

713. Среди данных последовательностей укажите арифметические прогрессии:

1) $3, -6, 12, -24;$

2) $4, 8, 12, 16;$

3) $5, 10, 5, 10;$

4) $42, 39, 36, 33;$

5) $-5, -3, -1, 1;$

6) $1.2; 1.3; 1.5; 1.6.$

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену одного и того же числа, называемого разностью прогрессии ($d$). Таким образом, для арифметической прогрессии должно выполняться условие: разность между любым последующим и предыдущим членами последовательности должна быть постоянной. Формула: $a_{n+1} - a_n = d$.

Проверим каждую из данных последовательностей.

1) $3, -6, 12, -24;$

Проверим разность между соседними членами:

$a_2 - a_1 = -6 - 3 = -9$

$a_3 - a_2 = 12 - (-6) = 12 + 6 = 18$

Поскольку разности не равны ($-9 \neq 18$), эта последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: не является арифметической прогрессией.

2) $4, 8, 12, 16;$

Проверим разность между соседними членами:

$a_2 - a_1 = 8 - 4 = 4$

$a_3 - a_2 = 12 - 8 = 4$

$a_4 - a_3 = 16 - 12 = 4$

Разность постоянна и равна $4$. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: является арифметической прогрессией.

3) $5, 10, 5, 10;$

Проверим разность между соседними членами:

$a_2 - a_1 = 10 - 5 = 5$

$a_3 - a_2 = 5 - 10 = -5$

Поскольку разности не равны ($5 \neq -5$), эта последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: не является арифметической прогрессией.

4) $42, 39, 36, 33;$

Проверим разность между соседними членами:

$a_2 - a_1 = 39 - 42 = -3$

$a_3 - a_2 = 36 - 39 = -3$

$a_4 - a_3 = 33 - 36 = -3$

Разность постоянна и равна $-3$. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: является арифметической прогрессией.

5) $-5, -3, -1, 1;$

Проверим разность между соседними членами:

$a_2 - a_1 = -3 - (-5) = -3 + 5 = 2$

$a_3 - a_2 = -1 - (-3) = -1 + 3 = 2$

$a_4 - a_3 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$

Разность постоянна и равна $2$. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: является арифметической прогрессией.

6) $1,2; 1,3; 1,5; 1,6.$

Проверим разность между соседними членами:

$a_2 - a_1 = 1,3 - 1,2 = 0,1$

$a_3 - a_2 = 1,5 - 1,3 = 0,2$

Поскольку разности не равны ($0,1 \neq 0,2$), эта последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: не является арифметической прогрессией.

714. Является ли арифметической прогрессией последовательность (в случае утвердительного ответа укажите разность прогрессии):

1) 24, 22, 20, 18;

2) 16, 17, 19, 23;

3) -3, 2, 7, 12?

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это постоянное число называют разностью прогрессии и обозначают буквой $d$.

Чтобы определить, является ли последовательность арифметической прогрессией, нужно вычислить разность между каждой парой идущих подряд членов. Если все полученные разности равны между собой, то последовательность является арифметической.

1) Проверим последовательность 24, 22, 20, 18.

Вычислим разности между соседними членами:

$a_2 - a_1 = 22 - 24 = -2$

$a_3 - a_2 = 20 - 22 = -2$

$a_4 - a_3 = 18 - 20 = -2$

Поскольку все разности равны, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d = -2$.

Ответ: да, является арифметической прогрессией, разность равна -2.

2) Проверим последовательность 16, 17, 19, 23.

Вычислим разности между соседними членами:

$b_2 - b_1 = 17 - 16 = 1$

$b_3 - b_2 = 19 - 17 = 2$

Поскольку уже первые две разности не равны ($1 \neq 2$), можно заключить, что последовательность не является арифметической. Для полноты проверки найдем и последнюю разность:

$b_4 - b_3 = 23 - 19 = 4$

Разности между соседними членами не являются постоянной величиной. Следовательно, эта последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: нет, не является арифметической прогрессией.

3) Проверим последовательность -3, 2, 7, 12.

Вычислим разности между соседними членами:

$c_2 - c_1 = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5$

$c_3 - c_2 = 7 - 2 = 5$

$c_4 - c_3 = 12 - 7 = 5$

Поскольку все разности равны, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d = 5$.

Ответ: да, является арифметической прогрессией, разность равна 5.

715. Найдите четыре первых члена арифметической прогрессии, первый член которой равен 1,2, а разность равна –0,3.

Для нахождения членов арифметической прогрессии воспользуемся её определением. Каждый следующий член прогрессии можно найти, прибавив к предыдущему члену разность прогрессии $d$. Рекуррентная формула для этого: $a_{n+1} = a_n + d$.

По условию задачи нам даны:
Первый член прогрессии: $a_1 = 1,2$.
Разность прогрессии: $d = -0,3$.

Требуется найти первые четыре члена прогрессии: $a_1$, $a_2$, $a_3$ и $a_4$.

Нахождение первого члена $a_1$
Первый член уже дан в условии задачи.
$a_1 = 1,2$

Нахождение второго члена $a_2$
Для нахождения второго члена прибавим разность $d$ к первому члену $a_1$.
$a_2 = a_1 + d = 1,2 + (-0,3) = 1,2 - 0,3 = 0,9$

Нахождение третьего члена $a_3$
Для нахождения третьего члена прибавим разность $d$ ко второму члену $a_2$.
$a_3 = a_2 + d = 0,9 + (-0,3) = 0,9 - 0,3 = 0,6$

Нахождение четвертого члена $a_4$
Для нахождения четвертого члена прибавим разность $d$ к третьему члену $a_3$.
$a_4 = a_3 + d = 0,6 + (-0,3) = 0,6 - 0,3 = 0,3$

Таким образом, мы нашли первые четыре члена данной арифметической прогрессии.

Ответ: 1,2; 0,9; 0,6; 0,3.

716. Первый член арифметической прогрессии равен $-7,4$, а разность равна $1,8$. Найдите пять первых членов прогрессии.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это постоянное число называется разностью прогрессии и обозначается буквой $d$.

По условию задачи нам даны:

• Первый член прогрессии $a_1 = -7,4$
• Разность прогрессии $d = 1,8$

Для нахождения последующих членов прогрессии будем использовать рекуррентную формулу $a_{n+1} = a_n + d$.

Первый член прогрессии уже задан в условии:
$a_1 = -7,4$

Второй член прогрессии находим, прибавляя разность к первому члену:
$a_2 = a_1 + d = -7,4 + 1,8 = -5,6$

Третий член прогрессии находим, прибавляя разность ко второму члену:
$a_3 = a_2 + d = -5,6 + 1,8 = -3,8$

Четвертый член прогрессии находим, прибавляя разность к третьему члену:
$a_4 = a_3 + d = -3,8 + 1,8 = -2,0$

Пятый член прогрессии находим, прибавляя разность к четвертому члену:
$a_5 = a_4 + d = -2,0 + 1,8 = -0,2$

Таким образом, мы получили последовательность из пяти первых членов прогрессии.

Ответ: -7,4; -5,6; -3,8; -2; -0,2.

717. Первый член арифметической прогрессии $(a_n)$ равен 4, а разность равна 0,4. Найдите:

1) $a_3$;

2) $a_{11}$;

3) $a_{32}$.

По условию задачи нам дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, у которой первый член $a_1 = 4$, а разность $d = 0,4$.

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии используется формула: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер искомого члена.

1) $a_3$
Чтобы найти третий член прогрессии, подставим в формулу $n=3$:
$a_3 = a_1 + (3-1)d$
$a_3 = 4 + 2 \cdot 0,4$
$a_3 = 4 + 0,8$
$a_3 = 4,8$
Ответ: $4,8$.

2) $a_{11}$
Чтобы найти одиннадцатый член прогрессии, подставим в формулу $n=11$:
$a_{11} = a_1 + (11-1)d$
$a_{11} = 4 + 10 \cdot 0,4$
$a_{11} = 4 + 4$
$a_{11} = 8$
Ответ: $8$.

3) $a_{32}$
Чтобы найти тридцать второй член прогрессии, подставим в формулу $n=32$:
$a_{32} = a_1 + (32-1)d$
$a_{32} = 4 + 31 \cdot 0,4$
$a_{32} = 4 + 12,4$
$a_{32} = 16,4$
Ответ: $16,4$.

718. Первый член арифметической прогрессии ($a_n$) равен 17, а разность равна -2. Найдите:

1) $a_4$;

2) $a_{15}$;

3) $a_{60}$.

Для решения задачи используется формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию задачи, первый член $a_1 = 17$, а разность $d = -2$.

1) $a_4$

Для нахождения четвертого члена прогрессии подставим в формулу $n = 4$:
$a_4 = a_1 + (4-1)d$
$a_4 = 17 + 3 \cdot (-2)$
$a_4 = 17 - 6$
$a_4 = 11$
Ответ: 11

2) $a_{15}$

Для нахождения пятнадцатого члена прогрессии подставим в формулу $n = 15$:
$a_{15} = a_1 + (15-1)d$
$a_{15} = 17 + 14 \cdot (-2)$
$a_{15} = 17 - 28$
$a_{15} = -11$
Ответ: -11

3) $a_{60}$

Для нахождения шестидесятого члена прогрессии подставим в формулу $n = 60$:
$a_{60} = a_1 + (60-1)d$
$a_{60} = 17 + 59 \cdot (-2)$
$a_{60} = 17 - 118$
$a_{60} = -101$
Ответ: -101

719. Найдите разность и двести первый член арифметической прогрессии

2,6; 2,9; 3,2; ...

Задана арифметическая прогрессия: 2,6; 2,9; 3,2; ...
Для решения задачи необходимо выполнить два шага: найти разность прогрессии и затем вычислить её двести первый член.

Разность
Разность арифметической прогрессии, обозначаемая как $d$, — это постоянное число, на которое каждый последующий член последовательности больше предыдущего. Чтобы найти её, достаточно вычесть из любого члена прогрессии предшествующий ему член.
Возьмем первый и второй члены прогрессии: $a_1 = 2,6$ и $a_2 = 2,9$.
Вычислим разность:
$d = a_2 - a_1 = 2,9 - 2,6 = 0,3$.
Для уверенности, можно провести проверку, используя второй и третий члены ($a_3 = 3,2$):
$d = a_3 - a_2 = 3,2 - 2,9 = 0,3$.
Разность постоянна и равна 0,3.
Ответ: разность арифметической прогрессии равна 0,3.

Двести первый член
Для нахождения любого члена арифметической прогрессии используется формула n-го члена:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
где $a_n$ — искомый член прогрессии, $a_1$ — первый член, $n$ — порядковый номер искомого члена, $d$ — разность прогрессии.
В нашем случае необходимо найти $a_{201}$. У нас есть все данные для расчета:
$a_1 = 2,6$
$n = 201$
$d = 0,3$
Подставим эти значения в формулу и выполним вычисления:
$a_{201} = 2,6 + (201 - 1) \cdot 0,3$
$a_{201} = 2,6 + 200 \cdot 0,3$
$a_{201} = 2,6 + 60$
$a_{201} = 62,6$
Ответ: двести первый член арифметической прогрессии равен 62,6.

720. Чему равна разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_6 = -2$, $a_7 = 6$?

Разность арифметической прогрессии ($d$) — это постоянное число, на которое каждый следующий член последовательности отличается от предыдущего. Для любых двух последовательных членов арифметической прогрессии $a_n$ и $a_{n+1}$ разность вычисляется по формуле:

$d = a_{n+1} - a_n$

В условии задачи даны значения шестого и седьмого членов прогрессии:

$a_6 = -2$

$a_7 = 6$

Поскольку это два последовательных члена, мы можем напрямую использовать формулу для нахождения разности $d$, подставив $n=6$:

$d = a_7 - a_6$

Подставим числовые значения:

$d = 6 - (-2)$

$d = 6 + 2$

$d = 8$

Ответ: 8

721. Найдите разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_8 = 3, a_9 = -12$.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением к нему одного и того же числа, называемого разностью прогрессии ($d$).

Формула для нахождения разности прогрессии через два последовательных члена $a_n$ и $a_{n-1}$ выглядит так:
$d = a_n - a_{n-1}$

В данной задаче нам известны восьмой ($a_8$) и девятый ($a_9$) члены прогрессии. Чтобы найти разность, необходимо из девятого члена вычесть восьмой.
Дано: $a_8 = 3$, $a_9 = -12$.

Подставим эти значения в формулу:
$d = a_9 - a_8 = -12 - 3 = -15$

Таким образом, разность арифметической прогрессии равна -15.

Ответ: -15

722. Найдите разность арифметической прогрессии $(x_n)$, если $x_1 = 2$, $x_8 = -47$.

Для нахождения разности арифметической прогрессии $(x_n)$ используется формула n-го члена: $x_n = x_1 + (n-1)d$, где $x_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — порядковый номер члена прогрессии.

Согласно условию задачи, нам даны:

• первый член прогрессии $x_1 = 2$;
• восьмой член прогрессии $x_8 = -47$.

Мы ищем разность $d$.

Подставим известные значения в формулу для n-го члена при $n=8$: $x_8 = x_1 + (8-1)d$

$-47 = 2 + 7d$

Теперь решим это уравнение относительно $d$. Перенесем 2 в левую часть уравнения, изменив знак: $-47 - 2 = 7d$

$-49 = 7d$

Чтобы найти $d$, разделим обе части уравнения на 7: $d = \frac{-49}{7}$

$d = -7$

Ответ: -7