Номер 4, страница 219 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Как можно задать арифметическую прогрессию рекуррентно?

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой каждый последующий член, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему одного и того же числа. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой $d$.

Задать последовательность рекуррентно – значит указать правило, по которому можно вычислить любой её член, зная один или несколько предыдущих членов. Для этого необходимо:

• Задать начальные условия, то есть первый член последовательности (или несколько первых членов).
• Задать рекуррентную формулу, которая связывает следующий член с предыдущим (или предыдущими).

Исходя из определения арифметической прогрессии, её рекуррентное задание выглядит следующим образом. Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия.

1. Задается её первый член $a_1$.
2. Каждый следующий член, начиная со второго, вычисляется по формуле, выражающей его через предыдущий член и разность прогрессии $d$:
   $a_{n+1} = a_n + d$

Эта формула верна для любого натурального $n \ge 1$. Иногда её записывают в эквивалентном виде: $a_n = a_{n-1} + d$ (для $n \ge 2$).

Пример:

Допустим, нам нужно задать арифметическую прогрессию, у которой первый член равен 7, а разность равна 4.

• Начальное условие: $a_1 = 7$.
• Рекуррентная формула: $a_{n+1} = a_n + 4$.

Используя эту формулу, мы можем последовательно найти члены прогрессии:

• $a_2 = a_1 + 4 = 7 + 4 = 11$
• $a_3 = a_2 + 4 = 11 + 4 = 15$
• $a_4 = a_3 + 4 = 15 + 4 = 19$
• ... и так далее.

Таким образом, мы получаем последовательность 7, 11, 15, 19, ...

Ответ: Арифметическую прогрессию можно задать рекуррентно, указав ее первый член $a_1$ и разность $d$, с помощью формулы $a_{n+1} = a_n + d$.