Номер 1, страница 219 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какую последовательность называют арифметической прогрессией?

Арифметической прогрессией называют числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Это постоянное число, которое прибавляется, называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой $d$.

Таким образом, для любого натурального номера $n$ в арифметической прогрессии $\{a_n\}$ выполняется рекуррентное соотношение:$a_{n+1} = a_n + d$.

Из этого определения следуют ключевые формулы и свойства:
- Разность прогрессии находится как разница между любым последующим и предыдущим членом: $d = a_{n+1} - a_n$.
- Формула n-го члена позволяет найти любой член прогрессии, зная её первый член $a_1$ и разность $d$: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
- Характеристическое свойство: каждый член прогрессии (кроме первого и, если она конечна, последнего) равен среднему арифметическому своих "соседей": $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$ для $n \ge 2$.

В зависимости от знака разности $d$, арифметическая прогрессия может быть:
1. Возрастающей, если $d > 0$. Пример: последовательность 3, 7, 11, 15, ... является возрастающей арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = 3$ и разностью $d = 4$.
2. Убывающей, если $d < 0$. Пример: последовательность 20, 18, 16, 14, ... является убывающей арифметической прогрессией с $a_1 = 20$ и разностью $d = -2$.
3. Стационарной, если $d = 0$. В этом случае все члены последовательности равны друг другу. Пример: 5, 5, 5, 5, ... с $a_1 = 5$ и разностью $d = 0$.

Ответ: Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавлено одно и то же число (разность прогрессии).