Номер 708, страница 213 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

708. Сократите дробь:

1) $ \frac{3x^2 - 7x + 2}{2 - 6x} $

2) $ \frac{5xy - 5x - 2y + 2}{10x^2 - 9x + 2} $

1) $\frac{3x^2 - 7x + 2}{2 - 6x}$

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Сначала разложим на множители числитель, который представляет собой квадратный трехчлен $3x^2 - 7x + 2$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 7x + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Используя формулу разложения квадратного трехчлена $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$, получаем:

$3x^2 - 7x + 2 = 3(x - 2)(x - \frac{1}{3}) = (x - 2)(3x - 1)$

Теперь разложим на множители знаменатель $2 - 6x$, вынеся общий множитель за скобки:

$2 - 6x = 2(1 - 3x) = -2(3x - 1)$

Подставим полученные разложения в исходную дробь и выполним сокращение:

$\frac{3x^2 - 7x + 2}{2 - 6x} = \frac{(x - 2)(3x - 1)}{-2(3x - 1)} = \frac{x - 2}{-2} = -\frac{x-2}{2} = \frac{2-x}{2}$

Ответ: $\frac{2-x}{2}$

2) $\frac{5xy - 5x - 2y + 2}{10x^2 - 9x + 2}$

Для сокращения этой дроби также разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $5xy - 5x - 2y + 2$ методом группировки слагаемых:

$5xy - 5x - 2y + 2 = (5xy - 5x) + (-2y + 2) = 5x(y - 1) - 2(y - 1) = (5x - 2)(y - 1)$

Далее разложим на множители знаменатель $10x^2 - 9x + 2$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $10x^2 - 9x + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 2 = 81 - 80 = 1$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 10} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 10} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

Разложим трехчлен на множители:

$10x^2 - 9x + 2 = 10(x - \frac{1}{2})(x - \frac{2}{5}) = 2(x - \frac{1}{2}) \cdot 5(x - \frac{2}{5}) = (2x - 1)(5x - 2)$

Подставим полученные разложения в исходную дробь и выполним сокращение на общий множитель $(5x-2)$:

$\frac{5xy - 5x - 2y + 2}{10x^2 - 9x + 2} = \frac{(5x - 2)(y - 1)}{(2x - 1)(5x - 2)} = \frac{y - 1}{2x - 1}$

Ответ: $\frac{y-1}{2x-1}$