Номер 711, страница 213 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

711. Рабочий планировал за некоторое время изготовить 160 деталей. Однако он закончил работу на 3 ч раньше, чем планировал, так как изготавливал на 12 деталей в час больше запланированного. Сколько деталей в час изготавливал рабочий?

Пусть $x$ — запланированная производительность рабочего, то есть количество деталей, которое он планировал изготавливать в час. По условию задачи, рабочий изготавливал на 12 деталей в час больше, следовательно, его фактическая производительность равна $x + 12$ деталей в час.

Общее количество деталей, которое нужно было изготовить, — 160.

Время, за которое рабочий планировал выполнить всю работу, составляет $t_{план} = \frac{160}{x}$ часов.

Фактическое время, которое рабочий затратил на выполнение работы, составляет $t_{факт} = \frac{160}{x + 12}$ часов.

Из условия известно, что рабочий закончил работу на 3 часа раньше, чем планировал. Это означает, что запланированное время больше фактического на 3 часа. Составим уравнение:

$t_{план} - t_{факт} = 3$

$\frac{160}{x} - \frac{160}{x + 12} = 3$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 12)$:

$\frac{160(x + 12) - 160x}{x(x + 12)} = 3$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{160x + 1920 - 160x}{x^2 + 12x} = 3$

$\frac{1920}{x^2 + 12x} = 3$

Это пропорция, из которой следует (учитывая, что производительность $x$ не может быть равна 0 или -12):

$3(x^2 + 12x) = 1920$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 + 12x = 640$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 12x - 640 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-640) = 144 + 2560 = 2704$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-12 + \sqrt{2704}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 + 52}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{-12 - \sqrt{2704}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 - 52}{2} = \frac{-64}{2} = -32$

Поскольку $x$ обозначает запланированную производительность (количество деталей в час), эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -32$ не является решением задачи.

Таким образом, запланированная производительность рабочего составляет $x = 20$ деталей в час.

Вопрос задачи — найти, сколько деталей в час изготавливал рабочий фактически. Фактическая производительность равна $x + 12$:

$20 + 12 = 32$ (детали в час).

Ответ: 32 детали в час.