Номер 6, страница 219 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

6. Как связаны между собой любой член арифметической прогрессии и соседние с ним члены?

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену одного и того же числа. Это постоянное число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой $d$.

Рассмотрим произвольный член арифметической прогрессии $a_n$ (для $n > 1$). Члены, стоящие рядом с ним, называются соседними: это предыдущий член $a_{n-1}$ и последующий член $a_{n+1}$.

Связь между этими членами напрямую следует из определения арифметической прогрессии:

• Последующий член $a_{n+1}$ равен текущему члену $a_n$ плюс разность прогрессии $d$: $a_{n+1} = a_n + d$.
• Текущий член $a_n$ равен предыдущему члену $a_{n-1}$ плюс разность прогрессии $d$: $a_n = a_{n-1} + d$.

Из этих двух равенств можно установить ключевое свойство, связывающее любой член прогрессии с его соседями. Это свойство называется характеристическим свойством арифметической прогрессии.

Давайте его выведем. Выразим разность $d$ из обоих уравнений:

$d = a_{n+1} - a_n$

$d = a_n - a_{n-1}$

Поскольку разность $d$ — это постоянная величина, мы можем приравнять правые части этих выражений:

$a_{n+1} - a_n = a_n - a_{n-1}$

Теперь перенесем члены так, чтобы выразить $a_n$:

$a_{n+1} + a_{n-1} = a_n + a_n$

$a_{n+1} + a_{n-1} = 2a_n$

Разделив обе части на 2, получим итоговую формулу:

$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

Эта формула показывает, что любой член арифметической прогрессии (кроме первого и последнего, если она конечна) равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов.

Пример: Возьмем арифметическую прогрессию: 5, 9, 13, 17, 21, ... Здесь разность $d=4$. Рассмотрим член $a_3 = 13$. Его соседи: $a_2 = 9$ и $a_4 = 17$. Проверим по формуле: $a_3 = \frac{a_2 + a_4}{2} = \frac{9 + 17}{2} = \frac{26}{2} = 13$. Как мы видим, равенство выполняется.

Ответ: Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим своих соседних членов (предыдущего и последующего). Математически эта связь выражается формулой: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$.