Номер 709, страница 213 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

709. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{\sqrt{2-x}}{x+2}$;

2) $y = \frac{\sqrt{6-5x-x^2}}{x-1}$.

1) $y = \frac{\sqrt{2-x}}{x+2}$

Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений переменной $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Для данной функции должны одновременно выполняться два условия:

1. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Запишем эти условия в виде системы:

$\begin{cases} 2-x \ge 0 \\ x+2 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$2-x \ge 0$

$-x \ge -2$

$x \le 2$

Решим второе условие:

$x+2 \neq 0$

$x \neq -2$

Теперь необходимо найти пересечение этих двух условий. Мы ищем все числа, которые меньше или равны 2, но при этом не равны -2. Это множество можно представить в виде объединения двух промежутков: от минус бесконечности до -2 (не включая -2) и от -2 до 2 (включая 2).

Ответ: $(-\infty, -2) \cup (-2, 2]$

2) $y = \frac{\sqrt{6-5x-x^2}}{x-1}$

Для нахождения области определения этой функции также необходимо учесть два ограничения:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
2. Знаменатель не должен обращаться в ноль.

Составим систему условий:

$\begin{cases} 6-5x-x^2 \ge 0 \\ x-1 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $6-5x-x^2 \ge 0$. Для удобства умножим обе части на -1, не забыв изменить знак неравенства на противоположный:

$x^2+5x-6 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2+5x-6=0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = -6$.

Парабола $y = x^2+5x-6$ имеет ветви, направленные вверх. Значит, значения квадратного трехчлена меньше или равны нулю на промежутке между корнями, включая сами корни.

Решением неравенства $x^2+5x-6 \le 0$ является отрезок $x \in [-6, 1]$.

Теперь решим второе условие:

$x-1 \neq 0$

$x \neq 1$

Объединим полученные результаты. Мы должны выбрать все значения $x$ из отрезка $[-6, 1]$, исключив при этом точку $x=1$. В результате получаем полуинтервал.

Ответ: $[-6, 1)$