Номер 704, страница 213 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

704. Последовательность ($a_n$) задана формулой $n$-го члена $a_n = n^2 - 3n - 8$.

Найдите номера членов этой последовательности, которые меньше 10.

По условию, последовательность $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена $a_n = n^2 - 3n - 8$. Требуется найти номера $n$ таких членов последовательности, для которых выполняется условие $a_n < 10$.

Составим и решим неравенство, подставив в него формулу для $a_n$:
$n^2 - 3n - 8 < 10$

Для решения перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратичное неравенство:
$n^2 - 3n - 8 - 10 < 0$
$n^2 - 3n - 18 < 0$

Теперь решим это неравенство. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 - 3n - 18 = 0$. Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:
$n_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
$n_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Мы решаем неравенство $n^2 - 3n - 18 < 0$. Функция $y(n) = n^2 - 3n - 18$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $n^2$ положителен). Следовательно, значения функции будут отрицательными на интервале между корнями. Таким образом, решение неравенства есть интервал $(-3; 6)$, то есть $-3 < n < 6$.

По определению, номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, то есть $n \ge 1$ и $n \in \mathbb{N}$. Выберем из интервала $(-3; 6)$ все натуральные числа. Этому условию удовлетворяют числа: 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.