Номер 698, страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

698. Найдите пять первых членов последовательности ($a_n$), если:

1) $a_1=4, a_{n+1}=a_n+3$;

2) $a_1=-2, a_2=6, a_{n+2}=3a_n+a_{n+1}$.

1) Дана последовательность, в которой первый член $a_1 = 4$, а каждый последующий член получается путем прибавления 3 к предыдущему, что задается рекуррентной формулой $a_{n+1} = a_n + 3$.

Чтобы найти первые пять членов последовательности, мы будем последовательно вычислять каждый член, начиная с заданного первого.

Первый член известен: $a_1 = 4$.

Для нахождения второго члена подставим $n=1$ в рекуррентную формулу:
$a_2 = a_1 + 3 = 4 + 3 = 7$.

Для нахождения третьего члена подставим $n=2$ (используя найденный $a_2$):
$a_3 = a_2 + 3 = 7 + 3 = 10$.

Для нахождения четвертого члена подставим $n=3$ (используя найденный $a_3$):
$a_4 = a_3 + 3 = 10 + 3 = 13$.

Для нахождения пятого члена подставим $n=4$ (используя найденный $a_4$):
$a_5 = a_4 + 3 = 13 + 3 = 16$.

Таким образом, первые пять членов последовательности: 4, 7, 10, 13, 16.

Ответ: 4, 7, 10, 13, 16.

2) Дана последовательность, в которой заданы первые два члена $a_1 = -2$ и $a_2 = 6$, а каждый последующий член, начиная с третьего, определяется через два предыдущих по рекуррентной формуле $a_{n+2} = 3a_n + a_{n+1}$.

Чтобы найти первые пять членов, нам нужно вычислить $a_3, a_4, a_5$.

Первый и второй члены известны: $a_1 = -2$, $a_2 = 6$.

Для нахождения третьего члена ($a_3$) подставим $n=1$ в рекуррентную формулу:
$a_3 = a_{1+2} = 3a_1 + a_{1+1} = 3a_1 + a_2 = 3 \cdot (-2) + 6 = -6 + 6 = 0$.

Для нахождения четвертого члена ($a_4$) подставим $n=2$ в рекуррентную формулу:
$a_4 = a_{2+2} = 3a_2 + a_{2+1} = 3a_2 + a_3 = 3 \cdot 6 + 0 = 18$.

Для нахождения пятого члена ($a_5$) подставим $n=3$ в рекуррентную формулу:
$a_5 = a_{3+2} = 3a_3 + a_{3+1} = 3a_3 + a_4 = 3 \cdot 0 + 18 = 18$.

Таким образом, первые пять членов последовательности: -2, 6, 0, 18, 18.

Ответ: -2, 6, 0, 18, 18.