Номер 696, страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

696. Последовательность $(c_n)$ задана формулой $n$-го члена $c_n = (-1)^n \cdot 5$.

Найдите:

1) $c_1$;2) $c_8$;3) $c_{2k}$;4) $c_{2k+1}$;5) $c_{k+2}$.

Последовательность $(c_n)$ задана формулой n-го члена $c_n = (-1)^n \cdot 5$. Для нахождения значения любого члена последовательности необходимо подставить его порядковый номер $n$ в эту формулу.

1) $c_1$

Для нахождения первого члена последовательности $c_1$ подставим в формулу $n=1$:

$c_1 = (-1)^1 \cdot 5$

Так как 1 — нечетное число, $(-1)$ в первой степени равно $-1$.

$c_1 = -1 \cdot 5 = -5$

Ответ: $-5$

2) $c_8$

Для нахождения восьмого члена последовательности $c_8$ подставим в формулу $n=8$:

$c_8 = (-1)^8 \cdot 5$

Так как 8 — четное число, $(-1)$ в восьмой степени равно $1$.

$c_8 = 1 \cdot 5 = 5$

Ответ: $5$

3) $c_{2k}$

Для нахождения члена последовательности с номером $2k$ подставим в формулу $n=2k$ (где $k$ — натуральное число):

$c_{2k} = (-1)^{2k} \cdot 5$

При любом натуральном $k$ число $2k$ является четным. Следовательно, $(-1)$ в степени $2k$ всегда равно $1$.

$c_{2k} = 1 \cdot 5 = 5$

Ответ: $5$

4) $c_{2k+1}$

Для нахождения члена последовательности с номером $2k+1$ подставим в формулу $n=2k+1$ (где $k$ — натуральное число или 0):

$c_{2k+1} = (-1)^{2k+1} \cdot 5$

При любом $k$ число $2k+1$ является нечетным. Следовательно, $(-1)$ в степени $2k+1$ всегда равно $-1$.

$c_{2k+1} = -1 \cdot 5 = -5$

Ответ: $-5$

5) $c_{k+2}$

Для нахождения члена последовательности с номером $k+2$ подставим в формулу $n=k+2$:

$c_{k+2} = (-1)^{k+2} \cdot 5$

Результат зависит от четности $k$. Если $k$ — четное, то $k+2$ тоже четное, и $c_{k+2}=5$. Если $k$ — нечетное, то $k+2$ тоже нечетное, и $c_{k+2}=-5$. Поскольку четность $k$ не задана, ответ следует оставить в виде выражения, зависящего от $k$. Можно также использовать свойство степеней: $(-1)^{k+2} = (-1)^k \cdot (-1)^2 = (-1)^k \cdot 1 = (-1)^k$. Тогда $c_{k+2} = (-1)^k \cdot 5$. Оба выражения, $(-1)^{k+2} \cdot 5$ и $(-1)^k \cdot 5$, являются верными.

Ответ: $(-1)^{k+2} \cdot 5$