Номер 699, страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

699. Найдите пять первых членов последовательности ($b_n$), если:

1) $b_1 = 18, b_{n+1} = - \frac{b_n}{3}$;

2) $b_1 = -1, b_2 = 2, b_{n+2} = b_n^2 + 2b_{n+1}$.

1) Дана последовательность $(b_n)$, которая задана рекуррентной формулой $b_{n+1} = -\frac{b_n}{3}$ и первым членом $b_1 = 18$. Необходимо найти первые пять членов этой последовательности.

Первый член нам уже известен: $b_1 = 18$.

Чтобы найти второй член, подставим $n=1$ в рекуррентную формулу:

$b_2 = b_{1+1} = -\frac{b_1}{3} = -\frac{18}{3} = -6$.

Чтобы найти третий член, подставим $n=2$:

$b_3 = b_{2+1} = -\frac{b_2}{3} = -\frac{-6}{3} = 2$.

Чтобы найти четвертый член, подставим $n=3$:

$b_4 = b_{3+1} = -\frac{b_3}{3} = -\frac{2}{3}$.

Чтобы найти пятый член, подставим $n=4$:

$b_5 = b_{4+1} = -\frac{b_4}{3} = -\frac{-2/3}{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$.

Пять первых членов последовательности: $18, -6, 2, -\frac{2}{3}, \frac{2}{9}$.

Ответ: $18, -6, 2, -\frac{2}{3}, \frac{2}{9}$.

2) Дана последовательность $(b_n)$, которая задана рекуррентной формулой $b_{n+2} = b_n^2 + 2b_{n+1}$ и первыми двумя членами $b_1 = -1$ и $b_2 = 2$. Необходимо найти первые пять членов этой последовательности.

Первые два члена нам известны: $b_1 = -1$, $b_2 = 2$.

Чтобы найти третий член, подставим $n=1$ в рекуррентную формулу:

$b_3 = b_{1+2} = b_1^2 + 2b_{1+1} = b_1^2 + 2b_2 = (-1)^2 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5$.

Чтобы найти четвертый член, подставим $n=2$:

$b_4 = b_{2+2} = b_2^2 + 2b_{2+1} = b_2^2 + 2b_3 = 2^2 + 2 \cdot 5 = 4 + 10 = 14$.

Чтобы найти пятый член, подставим $n=3$:

$b_5 = b_{3+2} = b_3^2 + 2b_{3+1} = b_3^2 + 2b_4 = 5^2 + 2 \cdot 14 = 25 + 28 = 53$.

Пять первых членов последовательности: $-1, 2, 5, 14, 53$.

Ответ: $-1, 2, 5, 14, 53$.