Страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

693. Последовательность ($a_n$) является последовательностью трёхзначных чисел, кратных числу 5, взятых в порядке возрастания. Заполните таблицу.

Согласно условию, последовательность $(a_n)$ является последовательностью трёхзначных чисел, кратных числу 5, взятых в порядке возрастания.

1. Найдём первый член последовательности $a_1$. Наименьшее трёхзначное число — это 100. Так как число 100 оканчивается на 0, оно кратно 5. Поскольку последовательность упорядочена по возрастанию, её первым членом будет наименьшее трёхзначное число, кратное 5, то есть $a_1 = 100$.

2. Определим вид последовательности. Так как в последовательность входят все числа, кратные 5, в порядке возрастания, то каждый следующий член отличается от предыдущего на 5. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d = 5$.

3. Найдём члены последовательности с $a_2$ по $a_6$. Для этого будем последовательно прибавлять разность прогрессии $d=5$ к предыдущему члену.
$a_2 = a_1 + d = 100 + 5 = 105$
$a_3 = a_2 + d = 105 + 5 = 110$
$a_4 = a_3 + d = 110 + 5 = 115$
$a_5 = a_4 + d = 115 + 5 = 120$
$a_6 = a_5 + d = 120 + 5 = 125$

Теперь мы можем заполнить таблицу.

Ответ:

694. Найдите четыре первых члена последовательности ($a_n$), заданной формулой $n$-го члена:

1) $a_n = n + 4$;

2) $a_n = 4n - 3$;

3) $a_n = \frac{n}{n^2 + 1}$;

4) $a_n = \frac{2^n}{n}$.

Чтобы найти первые четыре члена последовательности $(a_n)$, заданной формулой n-го члена, необходимо последовательно подставить в данную формулу значения $n=1$, $n=2$, $n=3$ и $n=4$.

1) Для последовательности, заданной формулой $a_n = n + 4$:

Первый член (при $n=1$): $a_1 = 1 + 4 = 5$.

Второй член (при $n=2$): $a_2 = 2 + 4 = 6$.

Третий член (при $n=3$): $a_3 = 3 + 4 = 7$.

Четвертый член (при $n=4$): $a_4 = 4 + 4 = 8$.

Ответ: 5, 6, 7, 8.

2) Для последовательности, заданной формулой $a_n = 4n - 3$:

Первый член (при $n=1$): $a_1 = 4 \cdot 1 - 3 = 4 - 3 = 1$.

Второй член (при $n=2$): $a_2 = 4 \cdot 2 - 3 = 8 - 3 = 5$.

Третий член (при $n=3$): $a_3 = 4 \cdot 3 - 3 = 12 - 3 = 9$.

Четвертый член (при $n=4$): $a_4 = 4 \cdot 4 - 3 = 16 - 3 = 13$.

Ответ: 1, 5, 9, 13.

3) Для последовательности, заданной формулой $a_n = \frac{n}{n^2 + 1}$:

Первый член (при $n=1$): $a_1 = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$.

Второй член (при $n=2$): $a_2 = \frac{2}{2^2 + 1} = \frac{2}{4 + 1} = \frac{2}{5}$.

Третий член (при $n=3$): $a_3 = \frac{3}{3^2 + 1} = \frac{3}{9 + 1} = \frac{3}{10}$.

Четвертый член (при $n=4$): $a_4 = \frac{4}{4^2 + 1} = \frac{4}{16 + 1} = \frac{4}{17}$.

Ответ: $\frac{1}{2}, \frac{2}{5}, \frac{3}{10}, \frac{4}{17}$.

4) Для последовательности, заданной формулой $a_n = \frac{2^n}{n}$:

Первый член (при $n=1$): $a_1 = \frac{2^1}{1} = \frac{2}{1} = 2$.

Второй член (при $n=2$): $a_2 = \frac{2^2}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Третий член (при $n=3$): $a_3 = \frac{2^3}{3} = \frac{8}{3}$.

Четвертый член (при $n=4$): $a_4 = \frac{2^4}{4} = \frac{16}{4} = 4$.

Ответ: $2, 2, \frac{8}{3}, 4$.

695. Найдите второй, седьмой и сотый члены последовательности $(b_n)$, заданной формулой $n$-го члена:

1) $b_n = \frac{10}{n}$;

2) $b_n = 5 - 2n$;

3) $b_n = n^2 + 2n$;

4) $b_n = (-1)^{n+1}$.

1) Для последовательности, заданной формулой $b_n = \frac{10}{n}$, найдем второй, седьмой и сотый члены, подставив в формулу значения $n=2$, $n=7$ и $n=100$ соответственно.
При $n=2$: $b_2 = \frac{10}{2} = 5$.
При $n=7$: $b_7 = \frac{10}{7}$.
При $n=100$: $b_{100} = \frac{10}{100} = \frac{1}{10} = 0.1$.
Ответ: $b_2 = 5$; $b_7 = \frac{10}{7}$; $b_{100} = 0.1$.

2) Для последовательности, заданной формулой $b_n = 5 - 2n$, найдем искомые члены:
Второй член ($n=2$): $b_2 = 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 4 = 1$.
Седьмой член ($n=7$): $b_7 = 5 - 2 \cdot 7 = 5 - 14 = -9$.
Сотый член ($n=100$): $b_{100} = 5 - 2 \cdot 100 = 5 - 200 = -195$.
Ответ: $b_2 = 1$; $b_7 = -9$; $b_{100} = -195$.

3) Для последовательности, заданной формулой $b_n = n^2 + 2n$, найдем искомые члены:
Второй член ($n=2$): $b_2 = 2^2 + 2 \cdot 2 = 4 + 4 = 8$.
Седьмой член ($n=7$): $b_7 = 7^2 + 2 \cdot 7 = 49 + 14 = 63$.
Сотый член ($n=100$): $b_{100} = 100^2 + 2 \cdot 100 = 10000 + 200 = 10200$.
Ответ: $b_2 = 8$; $b_7 = 63$; $b_{100} = 10200$.

4) Для последовательности, заданной формулой $b_n = (-1)^{n+1}$, найдем искомые члены:
Второй член ($n=2$): $b_2 = (-1)^{2+1} = (-1)^3 = -1$.
Седьмой член ($n=7$): $b_7 = (-1)^{7+1} = (-1)^8 = 1$.
Сотый член ($n=100$): $b_{100} = (-1)^{100+1} = (-1)^{101} = -1$.
Ответ: $b_2 = -1$; $b_7 = 1$; $b_{100} = -1$.

696. Последовательность $(c_n)$ задана формулой $n$-го члена $c_n = (-1)^n \cdot 5$.

Найдите:

1) $c_1$;2) $c_8$;3) $c_{2k}$;4) $c_{2k+1}$;5) $c_{k+2}$.

Последовательность $(c_n)$ задана формулой n-го члена $c_n = (-1)^n \cdot 5$. Для нахождения значения любого члена последовательности необходимо подставить его порядковый номер $n$ в эту формулу.

1) $c_1$

Для нахождения первого члена последовательности $c_1$ подставим в формулу $n=1$:

$c_1 = (-1)^1 \cdot 5$

Так как 1 — нечетное число, $(-1)$ в первой степени равно $-1$.

$c_1 = -1 \cdot 5 = -5$

Ответ: $-5$

2) $c_8$

Для нахождения восьмого члена последовательности $c_8$ подставим в формулу $n=8$:

$c_8 = (-1)^8 \cdot 5$

Так как 8 — четное число, $(-1)$ в восьмой степени равно $1$.

$c_8 = 1 \cdot 5 = 5$

Ответ: $5$

3) $c_{2k}$

Для нахождения члена последовательности с номером $2k$ подставим в формулу $n=2k$ (где $k$ — натуральное число):

$c_{2k} = (-1)^{2k} \cdot 5$

При любом натуральном $k$ число $2k$ является четным. Следовательно, $(-1)$ в степени $2k$ всегда равно $1$.

$c_{2k} = 1 \cdot 5 = 5$

Ответ: $5$

4) $c_{2k+1}$

Для нахождения члена последовательности с номером $2k+1$ подставим в формулу $n=2k+1$ (где $k$ — натуральное число или 0):

$c_{2k+1} = (-1)^{2k+1} \cdot 5$

При любом $k$ число $2k+1$ является нечетным. Следовательно, $(-1)$ в степени $2k+1$ всегда равно $-1$.

$c_{2k+1} = -1 \cdot 5 = -5$

Ответ: $-5$

5) $c_{k+2}$

Для нахождения члена последовательности с номером $k+2$ подставим в формулу $n=k+2$:

$c_{k+2} = (-1)^{k+2} \cdot 5$

Результат зависит от четности $k$. Если $k$ — четное, то $k+2$ тоже четное, и $c_{k+2}=5$. Если $k$ — нечетное, то $k+2$ тоже нечетное, и $c_{k+2}=-5$. Поскольку четность $k$ не задана, ответ следует оставить в виде выражения, зависящего от $k$. Можно также использовать свойство степеней: $(-1)^{k+2} = (-1)^k \cdot (-1)^2 = (-1)^k \cdot 1 = (-1)^k$. Тогда $c_{k+2} = (-1)^k \cdot 5$. Оба выражения, $(-1)^{k+2} \cdot 5$ и $(-1)^k \cdot 5$, являются верными.

Ответ: $(-1)^{k+2} \cdot 5$

697. Последовательность $(x_n)$ задана формулой $n$-го члена $x_n = 3n + 1$. Найдите:

1) $x_1$;

2) $x_7$;

3) $x_{20}$;

4) $x_{300}$;

5) $x_{k+1}$.

1) Чтобы найти $x_1$, необходимо подставить значение $n=1$ в формулу n-го члена последовательности $x_n = 3n + 1$:
$x_1 = 3 \cdot 1 + 1 = 3 + 1 = 4$.
Ответ: 4.

2) Чтобы найти $x_7$, подставляем в формулу $n=7$:
$x_7 = 3 \cdot 7 + 1 = 21 + 1 = 22$.
Ответ: 22.

3) Чтобы найти $x_{20}$, подставляем в формулу $n=20$:
$x_{20} = 3 \cdot 20 + 1 = 60 + 1 = 61$.
Ответ: 61.

4) Чтобы найти $x_{300}$, подставляем в формулу $n=300$:
$x_{300} = 3 \cdot 300 + 1 = 900 + 1 = 901$.
Ответ: 901.

5) Чтобы найти $x_{k+1}$, необходимо подставить в формулу вместо $n$ выражение $k+1$:
$x_{k+1} = 3(k+1) + 1$.
Раскроем скобки и упростим выражение:
$x_{k+1} = 3k + 3 + 1 = 3k + 4$.
Ответ: $3k + 4$.

698. Найдите пять первых членов последовательности ($a_n$), если:

1) $a_1=4, a_{n+1}=a_n+3$;

2) $a_1=-2, a_2=6, a_{n+2}=3a_n+a_{n+1}$.

1) Дана последовательность, в которой первый член $a_1 = 4$, а каждый последующий член получается путем прибавления 3 к предыдущему, что задается рекуррентной формулой $a_{n+1} = a_n + 3$.

Чтобы найти первые пять членов последовательности, мы будем последовательно вычислять каждый член, начиная с заданного первого.

Первый член известен: $a_1 = 4$.

Для нахождения второго члена подставим $n=1$ в рекуррентную формулу:
$a_2 = a_1 + 3 = 4 + 3 = 7$.

Для нахождения третьего члена подставим $n=2$ (используя найденный $a_2$):
$a_3 = a_2 + 3 = 7 + 3 = 10$.

Для нахождения четвертого члена подставим $n=3$ (используя найденный $a_3$):
$a_4 = a_3 + 3 = 10 + 3 = 13$.

Для нахождения пятого члена подставим $n=4$ (используя найденный $a_4$):
$a_5 = a_4 + 3 = 13 + 3 = 16$.

Таким образом, первые пять членов последовательности: 4, 7, 10, 13, 16.

Ответ: 4, 7, 10, 13, 16.

2) Дана последовательность, в которой заданы первые два члена $a_1 = -2$ и $a_2 = 6$, а каждый последующий член, начиная с третьего, определяется через два предыдущих по рекуррентной формуле $a_{n+2} = 3a_n + a_{n+1}$.

Чтобы найти первые пять членов, нам нужно вычислить $a_3, a_4, a_5$.

Первый и второй члены известны: $a_1 = -2$, $a_2 = 6$.

Для нахождения третьего члена ($a_3$) подставим $n=1$ в рекуррентную формулу:
$a_3 = a_{1+2} = 3a_1 + a_{1+1} = 3a_1 + a_2 = 3 \cdot (-2) + 6 = -6 + 6 = 0$.

Для нахождения четвертого члена ($a_4$) подставим $n=2$ в рекуррентную формулу:
$a_4 = a_{2+2} = 3a_2 + a_{2+1} = 3a_2 + a_3 = 3 \cdot 6 + 0 = 18$.

Для нахождения пятого члена ($a_5$) подставим $n=3$ в рекуррентную формулу:
$a_5 = a_{3+2} = 3a_3 + a_{3+1} = 3a_3 + a_4 = 3 \cdot 0 + 18 = 18$.

Таким образом, первые пять членов последовательности: -2, 6, 0, 18, 18.

Ответ: -2, 6, 0, 18, 18.

699. Найдите пять первых членов последовательности ($b_n$), если:

1) $b_1 = 18, b_{n+1} = - \frac{b_n}{3}$;

2) $b_1 = -1, b_2 = 2, b_{n+2} = b_n^2 + 2b_{n+1}$.

1) Дана последовательность $(b_n)$, которая задана рекуррентной формулой $b_{n+1} = -\frac{b_n}{3}$ и первым членом $b_1 = 18$. Необходимо найти первые пять членов этой последовательности.

Первый член нам уже известен: $b_1 = 18$.

Чтобы найти второй член, подставим $n=1$ в рекуррентную формулу:

$b_2 = b_{1+1} = -\frac{b_1}{3} = -\frac{18}{3} = -6$.

Чтобы найти третий член, подставим $n=2$:

$b_3 = b_{2+1} = -\frac{b_2}{3} = -\frac{-6}{3} = 2$.

Чтобы найти четвертый член, подставим $n=3$:

$b_4 = b_{3+1} = -\frac{b_3}{3} = -\frac{2}{3}$.

Чтобы найти пятый член, подставим $n=4$:

$b_5 = b_{4+1} = -\frac{b_4}{3} = -\frac{-2/3}{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$.

Пять первых членов последовательности: $18, -6, 2, -\frac{2}{3}, \frac{2}{9}$.

Ответ: $18, -6, 2, -\frac{2}{3}, \frac{2}{9}$.

2) Дана последовательность $(b_n)$, которая задана рекуррентной формулой $b_{n+2} = b_n^2 + 2b_{n+1}$ и первыми двумя членами $b_1 = -1$ и $b_2 = 2$. Необходимо найти первые пять членов этой последовательности.

Первые два члена нам известны: $b_1 = -1$, $b_2 = 2$.

Чтобы найти третий член, подставим $n=1$ в рекуррентную формулу:

$b_3 = b_{1+2} = b_1^2 + 2b_{1+1} = b_1^2 + 2b_2 = (-1)^2 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5$.

Чтобы найти четвертый член, подставим $n=2$:

$b_4 = b_{2+2} = b_2^2 + 2b_{2+1} = b_2^2 + 2b_3 = 2^2 + 2 \cdot 5 = 4 + 10 = 14$.

Чтобы найти пятый член, подставим $n=3$:

$b_5 = b_{3+2} = b_3^2 + 2b_{3+1} = b_3^2 + 2b_4 = 5^2 + 2 \cdot 14 = 25 + 28 = 53$.

Пять первых членов последовательности: $-1, 2, 5, 14, 53$.

Ответ: $-1, 2, 5, 14, 53$.

700. Последовательность ($a_n$) задана формулой $n$-го члена $a_n = 7n + 2$. Является ли членом этой последовательности число:

1) 23;

2) 149;

3) 47?

В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

Чтобы определить, является ли число членом последовательности $(a_n)$, заданной формулой $a_n = 7n + 2$, необходимо подставить это число вместо $a_n$ и найти $n$. Если $n$ является натуральным числом (т.е. целым и положительным), то данное число является членом последовательности, а $n$ — его порядковый номер.

1) 23;

Подставим число 23 в формулу и решим уравнение:
$a_n = 23$
$7n + 2 = 23$
$7n = 23 - 2$
$7n = 21$
$n = \frac{21}{7}$
$n = 3$
Поскольку $n=3$ является натуральным числом, число 23 — это третий член данной последовательности.
Ответ: Да, является. Номер этого члена равен 3.

2) 149;

Подставим число 149 в формулу и решим уравнение:
$a_n = 149$
$7n + 2 = 149$
$7n = 149 - 2$
$7n = 147$
$n = \frac{147}{7}$
$n = 21$
Поскольку $n=21$ является натуральным числом, число 149 — это двадцать первый член данной последовательности.
Ответ: Да, является. Номер этого члена равен 21.

3) 47?

Подставим число 47 в формулу и решим уравнение:
$a_n = 47$
$7n + 2 = 47$
$7n = 47 - 2$
$7n = 45$
$n = \frac{45}{7}$
Поскольку $n = \frac{45}{7}$ не является целым числом, а значит, и не является натуральным, число 47 не является членом данной последовательности.
Ответ: Нет, не является.

701. Последовательность ($b_n$) задана формулой $n$-го члена $b_n = n^2 - 4$. Является ли членом этой последовательности число:

1) 5;

2) 16;

3) 77?

В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

Для того чтобы определить, является ли заданное число членом последовательности, нужно подставить это число вместо $b_n$ в формулу $n$-го члена $b_n = n^2 - 4$ и найти соответствующее значение $n$. Если $n$ окажется натуральным числом (целым и положительным), то данное число является членом последовательности, а $n$ — его порядковый номер.

1) 5

Проверим, является ли число 5 членом последовательности. Для этого решим уравнение:

$b_n = 5$

$n^2 - 4 = 5$

$n^2 = 5 + 4$

$n^2 = 9$

$n = \sqrt{9} = 3$ (корень $n = -3$ не подходит, так как номер члена последовательности не может быть отрицательным).

Поскольку $n=3$ является натуральным числом, число 5 является третьим членом данной последовательности.

Ответ: да, является. Номер этого члена $n=3$.

2) 16

Проверим, является ли число 16 членом последовательности. Решим уравнение:

$b_n = 16$

$n^2 - 4 = 16$

$n^2 = 16 + 4$

$n^2 = 20$

$n = \sqrt{20}$

Поскольку $\sqrt{20}$ не является натуральным числом ($4^2=16$, а $5^2=25$), то не существует натурального номера $n$, для которого член последовательности равен 16.

Ответ: нет, не является.

3) 77

Проверим, является ли число 77 членом последовательности. Решим уравнение:

$b_n = 77$

$n^2 - 4 = 77$

$n^2 = 77 + 4$

$n^2 = 81$

$n = \sqrt{81} = 9$ (корень $n = -9$ не подходит).

Поскольку $n=9$ является натуральным числом, число 77 является девятым членом данной последовательности.

Ответ: да, является. Номер этого члена $n=9$.