Страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

12. В лотерее разыгрывалось 12 компьютеров, 18 фотоаппаратов и 120 калькуляторов. Всего было выпущено 15 000 лотерейных билетов. Какова вероятность, приобретя один билет, не выиграть никакого приза?

А) $ \frac{1}{10} $

Б) $ \frac{1}{100} $

В) $ \frac{9}{10} $

Г) $ \frac{99}{100} $

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $A$ вычисляется по формуле:

$P(A) = \frac{m}{n}$

где $n$ – это общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ – число элементарных исходов, благоприятствующих событию $A$.

В данном случае, искомое событие – это «не выиграть никакого приза», приобретя один билет.

1. Найдем общее число исходов $n$.

Общее число исходов равно общему количеству выпущенных лотерейных билетов. Согласно условию задачи:

$n = 15000$

2. Найдем число исходов, благоприятствующих событию (m).

Благоприятный исход — это покупка билета, который не выигрывает приз. Чтобы найти их количество, сначала посчитаем общее число выигрышных билетов. Оно равно сумме всех разыгрываемых призов:

Количество выигрышных билетов = $12 \text{ (компьютеры)} + 18 \text{ (фотоаппараты)} + 120 \text{ (калькуляторы)} = 150$ билетов.

Теперь можем найти количество невыигрышных билетов ($m$), вычтя количество выигрышных из общего числа билетов:

$m = n - (\text{количество выигрышных билетов}) = 15000 - 150 = 14850$

3. Вычислим вероятность не выиграть приз.

Подставим найденные значения $m$ и $n$ в формулу вероятности:

$P(\text{не выиграть}) = \frac{m}{n} = \frac{14850}{15000}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{14850}{15000} = \frac{1485}{1500}$

Чтобы упростить дальше, можно заметить, что оба числа делятся на 15. $1500 \div 15 = 100$, а $1485 = 1500 - 15$, поэтому $1485 \div 15 = 100 - 1 = 99$.

$P(\text{не выиграть}) = \frac{99}{100}$

Альтернативный способ (через противоположное событие):

События «выиграть приз» и «не выиграть приз» являются противоположными. Сумма их вероятностей равна 1. Сначала найдем вероятность выиграть приз.

$P(\text{выиграть}) = \frac{\text{количество выигрышных билетов}}{\text{общее число билетов}} = \frac{150}{15000} = \frac{15}{1500} = \frac{1}{100}$

Теперь найдем вероятность не выиграть:

$P(\text{не выиграть}) = 1 - P(\text{выиграть}) = 1 - \frac{1}{100} = \frac{100}{100} - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$

Оба способа дают одинаковый результат. Этот результат соответствует варианту ответа Г).

Ответ: Г) $\frac{99}{100}$

13. Из двузначных чётных чисел наугад выбирают одно число. Какова вероятность того, что это число будет кратным числу 7?

А) $ \frac{1}{9} $ Б) $ \frac{7}{45} $ В) $ \frac{1}{14} $ Г) $ \frac{2}{15} $

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов: $P = \frac{m}{N}$.

Нахождение общего числа исходов (N)

Общее число исходов ($N$) — это количество всех двузначных чётных чисел. Двузначные числа находятся в диапазоне от 10 до 99. Чётные числа в этом диапазоне образуют арифметическую прогрессию: 10, 12, 14, ..., 98. Чтобы найти их количество, можно использовать формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, $a_n$ — последний член, а $d$ — разность прогрессии. В нашем случае: $a_1 = 10$, $a_n = 98$, $d = 2$. Подставим значения в формулу: $98 = 10 + (N-1) \cdot 2$ $98 - 10 = (N-1) \cdot 2$ $88 = (N-1) \cdot 2$ $N-1 = \frac{88}{2}$ $N-1 = 44$ $N = 45$ Таким образом, общее число двузначных чётных чисел равно 45.

Нахождение числа благоприятных исходов (m)

Благоприятный исход ($m$) — это выбор числа, которое является двузначным, чётным и кратным 7. Если число одновременно кратно 2 (т.е. чётное) и 7, то оно должно быть кратно их наименьшему общему кратному (НОК). Поскольку 2 и 7 — взаимно простые числа, их НОК равен их произведению: НОК(2, 7) = $2 \times 7 = 14$. Следовательно, нам нужно найти количество двузначных чисел, кратных 14. Перечислим их:

• $14 \cdot 1 = 14$
• $14 \cdot 2 = 28$
• $14 \cdot 3 = 42$
• $14 \cdot 4 = 56$
• $14 \cdot 5 = 70$
• $14 \cdot 6 = 84$
• $14 \cdot 7 = 98$

Следующее число, кратное 14 ($14 \cdot 8 = 112$), уже является трёхзначным, поэтому не подходит. Всего таких чисел 7. Значит, количество благоприятных исходов $m = 7$.

Вычисление вероятности

Теперь, зная общее число исходов ($N = 45$) и число благоприятных исходов ($m = 7$), мы можем вычислить искомую вероятность: $P = \frac{m}{N} = \frac{7}{45}$.

Сравнивая результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту Б).

Ответ: Б) $\frac{7}{45}$

14. В коробке лежат 12 белых и 16 красных шаров. Какова вероятность того, что выбранный наугад шар окажется белым?

А) $\frac{3}{4}$

Б) $\frac{3}{7}$

В) $\frac{1}{12}$

Г) $\frac{4}{7}$

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов.

1. Найдем общее число возможных исходов.
В коробке находятся белые и красные шары. Общее количество шаров равно их сумме: $12 \text{ (белых)} + 16 \text{ (красных)} = 28 \text{ (всего шаров)}$ Таким образом, общее число возможных исходов $n$ при вытягивании одного шара равно 28.

2. Найдем число благоприятных исходов.
Нас интересует событие, при котором выбранный шар окажется белым. Количество белых шаров в коробке — 12. Следовательно, число благоприятных исходов $m$ равно 12.

3. Рассчитаем вероятность.
Вероятность $P$ того, что выбранный шар будет белым, находится по формуле: $P = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{m}{n}$

Подставим найденные значения в формулу: $P = \frac{12}{28}$

4. Упростим полученную дробь.
Сократим дробь $\frac{12}{28}$. Наибольший общий делитель для числителя 12 и знаменателя 28 равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4: $\frac{12 \div 4}{28 \div 4} = \frac{3}{7}$

Таким образом, вероятность того, что выбранный наугад шар окажется белым, равна $\frac{3}{7}$. Этот результат соответствует варианту Б).

Ответ: Б) $\frac{3}{7}$

15. В коробке лежат карандаши, из них 24 карандаша – синие, 8 карандашей – зелёные, а остальные – жёлтые. Сколько карандашей лежит в коробке, если вероятность того, что выбранный наугад карандаш будет жёлтым, составляет $\frac{1}{3}$?

А) 48 карандашей

Б) 54 карандаша

В) 45 карандашей

Г) 42 карандаша

Пусть $N$ — это общее количество карандашей в коробке, а $Y$ — это количество жёлтых карандашей.

Согласно условию задачи, в коробке находятся 24 синих и 8 зелёных карандашей. Суммарное количество синих и зелёных карандашей составляет:
$24 + 8 = 32$

Так как остальные карандаши жёлтые, общее количество карандашей $N$ можно выразить как сумму карандашей всех цветов:
$N = 32 + Y$

Вероятность $P$ того, что случайно выбранный карандаш окажется жёлтым, определяется как отношение числа жёлтых карандашей к общему числу карандашей:
$P(Ж) = \frac{Y}{N}$

Из условия известно, что эта вероятность равна $\frac{1}{3}$. Таким образом, мы можем составить уравнение:
$\frac{Y}{N} = \frac{1}{3}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $N = 32 + Y$
2) $\frac{Y}{N} = \frac{1}{3}$

Из второго уравнения выразим $Y$ через $N$:
$Y = \frac{N}{3}$

Подставим это выражение для $Y$ в первое уравнение:
$N = 32 + \frac{N}{3}$

Теперь решим это уравнение относительно $N$. Перенесём все слагаемые с $N$ в левую часть:
$N - \frac{N}{3} = 32$
$\frac{3N - N}{3} = 32$
$\frac{2N}{3} = 32$

Чтобы найти $N$, умножим обе части уравнения на 3, а затем разделим на 2:
$2N = 32 \cdot 3$
$2N = 96$
$N = \frac{96}{2}$
$N = 48$

Следовательно, в коробке лежит 48 карандашей.

Ответ: 48 карандашей.

16. Абонент забыл две последние цифры номера телефона и набирает их наугад. Какова вероятность правильно набрать номер, если абонент только помнит, что две последние цифры нечётные?

А) $\frac{1}{20}$

Б) $\frac{1}{5}$

В) $\frac{1}{100}$

Г) $\frac{1}{25}$

Для решения этой задачи необходимо использовать классическое определение вероятности. Вероятность события $P$ вычисляется как отношение числа благоприятных исходов $m$ к общему числу всех равновозможных исходов $n$:

$P = \frac{m}{n}$

1. Нахождение общего числа равновозможных исходов (n)

Абонент помнит, что обе последние цифры номера — нечётные. В десятичной системе счисления существует 5 нечётных цифр: 1, 3, 5, 7, 9.

Для предпоследней цифры номера есть 5 возможных вариантов (любая из нечётных цифр).

Для последней цифры номера также есть 5 возможных вариантов (любая из нечётных цифр, так как в условии не сказано, что цифры должны быть разными).

Поскольку выбор каждой из двух цифр является независимым событием, общее количество возможных комбинаций для двух последних цифр находится по правилу умножения:

$n = 5 \times 5 = 25$.

Таким образом, существует 25 возможных вариантов для двух последних цифр, которые абонент может набрать.

2. Нахождение числа благоприятных исходов (m)

Благоприятный исход — это правильный набор двух последних цифр. Так как существует только один правильный номер телефона, то и верная комбинация двух последних цифр только одна.

Следовательно, число благоприятных исходов $m = 1$.

3. Вычисление вероятности

Теперь, зная общее число исходов и число благоприятных исходов, мы можем вычислить вероятность правильно набрать номер:

$P = \frac{m}{n} = \frac{1}{25}$.

Этот результат соответствует варианту Г) из предложенных.

Ответ: $\frac{1}{25}$

17. Абонент забыл две последние цифры номера телефона и набирает их наугад. Какова вероятность правильно набрать номер, если абонент только помнит, что две последние цифры различные и чётные?

А) $\frac{1}{20}$

Б) $\frac{1}{25}$

В) $\frac{1}{16}$

Г) $\frac{1}{100}$

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Сначала найдем общее число возможных исходов ($n$). Из условия известно, что две последние цифры номера телефона являются различными и чётными.

Множество чётных цифр, из которых может состоять окончание номера, включает 5 цифр: {0, 2, 4, 6, 8}.

Нам необходимо составить упорядоченную пару из этих цифр, так как порядок цифр в номере важен (например, 28 и 82 — это разные окончания). Такая задача решается с помощью размещений без повторений.

Для выбора предпоследней цифры есть 5 вариантов (любая из чётных цифр).

Поскольку цифры должны быть различными, после выбора первой цифры для выбора последней остаётся $5 - 1 = 4$ варианта.

Общее число возможных комбинаций ($n$) для двух последних цифр можно найти, перемножив количество вариантов для каждой позиции:
$n = 5 \times 4 = 20$.

Число благоприятствующих исходов ($m$) — это правильная комбинация двух последних цифр. Так как правильный номер только один, то и благоприятствующий исход тоже один. Следовательно, $m = 1$.

Теперь вычислим вероятность правильно набрать номер:
$P = \frac{m}{n} = \frac{1}{20}$.

Этот результат соответствует варианту А).

Ответ: $\frac{1}{20}$

18. Среди двузначных чисел наугад выбирают одно число. Какова вероятность того, что его цифры в разрядах десятков и единиц равны?

А) $\frac{1}{9}$

Б) $\frac{1}{2}$

В) $\frac{1}{10}$

Г) $\frac{1}{100}$

Для нахождения вероятности события по классическому определению необходимо найти отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

1. Найдем общее число всех равновозможных исходов (n).
В данном случае исходом является выбор одного двузначного числа. Двузначные числа — это целые числа от 10 до 99 включительно. Их общее количество равно:
$n = 99 - 10 + 1 = 90$.
Итак, всего существует 90 двузначных чисел.

2. Найдем число благоприятствующих исходов (m).
Благоприятствующим исходом является выбор такого двузначного числа, у которого цифры в разрядах десятков и единиц равны. Перечислим все такие числа:
11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.
Всего таких чисел 9. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m = 9$.

3. Вычислим искомую вероятность (P).
Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
$P = \frac{m}{n} = \frac{9}{90}$
Сократив дробь, получаем:
$P = \frac{1}{10}$.

Этот результат соответствует варианту ответа В).

Ответ: В) $\frac{1}{10}$