Страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

686. Постройте ряд: 1) из пяти чисел; 2) из шести чисел, у которого:

а) среднее значение равно медиане;

б) среднее значение больше медианы.

а) среднее значение равно медиане

1) из пяти чисел:

Для ряда из 5 чисел, упорядоченного по возрастанию ($x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$), медианой является центральный элемент $x_3$. Среднее значение равно $\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}$. Чтобы среднее значение было равно медиане, должно выполняться равенство $\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5} = x_3$, что равносильно $x_1+x_2+x_4+x_5 = 4x_3$. Проще всего построить ряд, симметричный относительно медианы. Пусть медиана $x_3=10$. Тогда нам нужен ряд, в котором $x_1+x_2+x_4+x_5 = 4 \times 10 = 40$. Возьмем ряд: 5, 8, 10, 12, 15. Проверим: медиана равна 10. Среднее значение: $\frac{5+8+10+12+15}{5} = \frac{50}{5} = 10$. Условие выполняется, так как $10=10$.

Ответ: 5, 8, 10, 12, 15.

2) из шести чисел:

Для ряда из 6 чисел, упорядоченного по возрастанию ($x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов: $\frac{x_3+x_4}{2}$. Среднее значение: $\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6}{6}$. Чтобы они были равны, должно выполняться $\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6}{6} = \frac{x_3+x_4}{2}$ или $x_1+x_2+x_5+x_6 = 2(x_3+x_4)$. Построим симметричный ряд. Пусть центральные числа $x_3=8$ и $x_4=12$. Медиана равна $\frac{8+12}{2} = 10$. Нам нужно, чтобы $x_1+x_2+x_5+x_6 = 2(8+12) = 40$. Возьмем ряд: 4, 6, 8, 12, 14, 16. Проверим: медиана равна 10. Среднее значение: $\frac{4+6+8+12+14+16}{6} = \frac{60}{6} = 10$. Условие выполняется, так как $10=10$.

Ответ: 4, 6, 8, 12, 14, 16.

б) среднее значение больше медианы

1) из пяти чисел:

Требуется, чтобы среднее значение было больше медианы: $\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5} > x_3$. Возьмем за основу ряд из пункта а), где среднее равно медиане: 5, 8, 10, 12, 15. Здесь медиана равна 10, и среднее тоже равно 10. Чтобы среднее значение стало больше медианы, не изменяя саму медиану, достаточно увеличить один из членов, стоящих правее медианы. Например, заменим последнее число 15 на 25. Получим ряд: 5, 8, 10, 12, 25. Проверим: медиана осталась равной 10. Среднее значение: $\frac{5+8+10+12+25}{5} = \frac{60}{5} = 12$. Условие выполняется, так как $12 > 10$.

Ответ: 5, 8, 10, 12, 25.

2) из шести чисел:

Требуется, чтобы среднее значение было больше медианы: $\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6}{6} > \frac{x_3+x_4}{2}$. Возьмем за основу ряд из пункта а): 4, 6, 8, 12, 14, 16. Здесь медиана и среднее значение равны 10. Чтобы увеличить среднее значение, не меняя медиану, увеличим одно из чисел, не влияющих на медиану (то есть не $x_3$ и не $x_4$). Заменим последнее число 16 на 28. Получим ряд: 4, 6, 8, 12, 14, 28. Проверим: медиана осталась равной $\frac{8+12}{2}=10$. Среднее значение: $\frac{4+6+8+12+14+28}{6} = \frac{72}{6} = 12$. Условие выполняется, так как $12 > 10$.

Ответ: 4, 6, 8, 12, 14, 28.

687. Упростите выражение

$\left(\frac{a+1}{a-1} - \frac{a}{a+1}\right) : \frac{3a+1}{a^2+a}.$

Для упрощения выражения сначала выполним действие в скобках (вычитание дробей), а затем выполним деление.

1. Выполним вычитание дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю $ (a-1)(a+1) $.

$ \frac{a+1}{a-1} - \frac{a}{a+1} = \frac{(a+1)(a+1)}{(a-1)(a+1)} - \frac{a(a-1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{(a+1)^2 - a(a-1)}{(a-1)(a+1)} $

Теперь упростим числитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$ (a+1)^2 - a(a-1) = (a^2 + 2a + 1) - (a^2 - a) = a^2 + 2a + 1 - a^2 + a = 3a + 1 $

Таким образом, выражение в скобках равно:

$ \frac{3a+1}{(a-1)(a+1)} $

2. Теперь выполним деление. Исходное выражение принимает вид:

$ \frac{3a+1}{(a-1)(a+1)} : \frac{3a+1}{a^2+a} $

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь. Также разложим знаменатель второй дроби $ a^2+a $ на множители: $ a^2+a = a(a+1) $.

$ \frac{3a+1}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{a^2+a}{3a+1} = \frac{3a+1}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{a(a+1)}{3a+1} $

Сократим одинаковые множители $ (3a+1) $ и $ (a+1) $ в числителе и знаменателе (при условии, что они не равны нулю):

$ \frac{\cancel{3a+1}}{(a-1)\cancel{(a+1)}} \cdot \frac{a\cancel{(a+1)}}{\cancel{3a+1}} = \frac{a}{a-1} $

Ответ: $ \frac{a}{a-1} $

688. Сократите дробь:

1) $\frac{9x^2 - 1}{3x^2 - 4x + 1};$

2) $\frac{2x^2 - 5x + 3}{4x^2 - 12x + 9}.$

1) Чтобы сократить дробь $\frac{9x^2-1}{3x^2-4x+1}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$9x^2-1 = (3x)^2 - 1^2 = (3x-1)(3x+1)$

Разложим на множители знаменатель. Для этого решим квадратное уравнение $3x^2-4x+1=0$, чтобы найти его корни. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4+2}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4-2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь представим квадратный трехчлен в виде произведения, используя формулу $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$:

$3x^2-4x+1 = 3(x-1)(x-\frac{1}{3}) = (x-1)(3x-1)$

Подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{9x^2-1}{3x^2-4x+1} = \frac{(3x-1)(3x+1)}{(x-1)(3x-1)}$

Сократим общий множитель $(3x-1)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $3x-1 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{1}{3}$):

$\frac{3x+1}{x-1}$

Ответ: $\frac{3x+1}{x-1}$

2) Сократим дробь $\frac{2x^2-5x+3}{4x^2-12x+9}$.

Сначала разложим на множители числитель. Для этого решим квадратное уравнение $2x^2-5x+3=0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5+1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5-1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Представим числитель в виде произведения по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$2x^2-5x+3 = 2(x-\frac{3}{2})(x-1) = (2x-3)(x-1)$

Теперь разложим на множители знаменатель. Заметим, что выражение $4x^2-12x+9$ является полным квадратом, так как соответствует формуле квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$.

$4x^2-12x+9 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x-3)^2$

Подставим разложенные выражения в исходную дробь:

$\frac{2x^2-5x+3}{4x^2-12x+9} = \frac{(2x-3)(x-1)}{(2x-3)^2}$

Сократим общий множитель $(2x-3)$ (при условии, что $2x-3 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{3}{2}$):

$\frac{x-1}{2x-3}$

Ответ: $\frac{x-1}{2x-3}$

689. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} 2x - y = 13, \\ x^2 - y^2 = 23; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2x^2 - y^2 = 23, \\ 2x^2 + y^2 = 41. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x - y = 13 \\ x^2 - y^2 = 23 \end{cases}$

Для решения этой системы используем метод подстановки. Сначала выразим переменную y из первого (линейного) уравнения:

$2x - y = 13 \implies y = 2x - 13$

Теперь подставим это выражение для y во второе уравнение системы:

$x^2 - (2x - 13)^2 = 23$

Раскроем скобки, применив формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - (4x^2 - 2 \cdot 2x \cdot 13 + 13^2) = 23$

$x^2 - (4x^2 - 52x + 169) = 23$

$x^2 - 4x^2 + 52x - 169 = 23$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:

$-3x^2 + 52x - 169 - 23 = 0$

$-3x^2 + 52x - 192 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$3x^2 - 52x + 192 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-52)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 192 = 2704 - 2304 = 400$

Найдем корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{52 \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{52 \pm 20}{6}$

$x_1 = \frac{52 + 20}{6} = \frac{72}{6} = 12$

$x_2 = \frac{52 - 20}{6} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения y, подставляя найденные x в выражение $y = 2x - 13$:

При $x_1 = 12$, $y_1 = 2 \cdot 12 - 13 = 24 - 13 = 11$.

При $x_2 = \frac{16}{3}$, $y_2 = 2 \cdot \frac{16}{3} - 13 = \frac{32}{3} - \frac{39}{3} = -\frac{7}{3}$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(12; 11)$, $(\frac{16}{3}; -\frac{7}{3})$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 23 \\ 2x^2 + y^2 = 41 \end{cases}$

Эту систему удобно решить методом алгебраического сложения, поскольку коэффициенты при $y^2$ являются противоположными числами.

Сложим первое и второе уравнения:

$(2x^2 - y^2) + (2x^2 + y^2) = 23 + 41$

$4x^2 = 64$

Разделим обе части на 4:

$x^2 = 16$

Из этого уравнения находим значения x:

$x_1 = 4$, $x_2 = -4$

Теперь найдем значения y. Подставим $x^2 = 16$ в любое из исходных уравнений. Например, во второе:

$2(16) + y^2 = 41$

$32 + y^2 = 41$

$y^2 = 41 - 32$

$y^2 = 9$

Из этого уравнения находим значения y:

$y_1 = 3$, $y_2 = -3$

Каждое из двух значений x может сочетаться с каждым из двух значений y, что дает нам четыре пары решений.

Ответ: $(4; 3)$, $(4; -3)$, $(-4; 3)$, $(-4; -3)$.

690. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{3x - 2x^2}$;

2) $y = \sqrt{\frac{x - 5}{x + 7}}$.

1) Область определения функции $y = \sqrt{3x - 2x^2}$ находится из условия, что выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным. Таким образом, необходимо решить неравенство:

$3x - 2x^2 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $3x - 2x^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3 - 2x) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$3 - 2x = 0 \implies 2x = 3 \implies x_2 = \frac{3}{2} = 1.5$

Графиком функции $f(x) = 3x - 2x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен (равен $-2$). Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на отрезке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[0; 1.5]$. Это и есть область определения функции.

Ответ: $x \in [0; 1.5]$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{x-5}{x+7}}$ определяется двумя условиями:

1. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $\frac{x-5}{x+7} \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x+7 \ne 0$, что означает $x \ne -7$.

Для решения дробно-рационального неравенства $\frac{x-5}{x+7} \ge 0$ используем метод интервалов.

Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x - 5 = 0 \implies x = 5$.

Нуль знаменателя: $x + 7 = 0 \implies x = -7$.

Нанесем эти точки на числовую прямую. Точка $x=5$ будет "закрашенной" (включена в решение), так как неравенство нестрогое. Точка $x=-7$ будет "выколотой" (исключена из решения), так как она обращает знаменатель в ноль.

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -7)$, $(-7; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{x-5}{x+7}$ в каждом из интервалов:

• В интервале $(-\infty; -7)$, возьмем $x=-8$: $\frac{-8-5}{-8+7} = \frac{-13}{-1} = 13 > 0$. Знак «+».
• В интервале $(-7; 5)$, возьмем $x=0$: $\frac{0-5}{0+7} = -\frac{5}{7} < 0$. Знак «−».
• В интервале $(5; +\infty)$, возьмем $x=6$: $\frac{6-5}{6+7} = \frac{1}{13} > 0$. Знак «+».

Так как неравенство имеет вид $\ge 0$, нас интересуют интервалы со знаком «+», а также точка, где числитель равен нулю.

Объединяя полученные промежутки, получаем область определения функции.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup [5; +\infty)$.

691. Решите неравенство $(x^2 + 1)(x^2 - x - 2) < 0$.

Решим неравенство $(x^2 + 1)(x^2 - x - 2) < 0$.

Данное неравенство представляет собой произведение двух множителей. Проанализируем знак каждого из них.

Первый множитель $(x^2 + 1)$. Для любого действительного числа $x$ справедливо, что $x^2 \ge 0$. Следовательно, $x^2 + 1 \ge 1$. Таким образом, выражение $(x^2 + 1)$ всегда положительно.

Для того чтобы произведение двух множителей было отрицательным, необходимо, чтобы множители имели разные знаки. Поскольку первый множитель $(x^2 + 1)$ всегда положителен, то второй множитель $(x^2 - x - 2)$ должен быть отрицательным.

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:

$x^2 - x - 2 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$

Графиком функции $y = x^2 - x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Неравенство $x^2 - x - 2 < 0$ выполняется на интервале между корнями параболы.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(-1; 2)$.

Ответ: $(-1; 2)$.