Страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Морская вода содержит $6\%$ соли. Сколько килограммов воды надо взять, чтобы получить 48 кг соли?

А) 80 кг

Б) 60 кг

В) 800 кг

Г) 600 кг

По условию задачи, морская вода содержит 6% соли. Это означает, что масса соли составляет 6% от общей массы морской воды. Нам нужно найти, какова должна быть общая масса воды, чтобы в ней содержалось 48 кг соли.

Пусть $x$ — это искомая общая масса морской воды в килограммах.

Решить задачу можно несколькими способами.

Способ 1: Составление пропорции
Примем общую массу морской воды ($x$ кг) за 100%. Тогда масса соли (48 кг) составляет 6% от этой массы. Составим пропорцию:
$x$ кг — 100%
48 кг — 6%

Из пропорции получаем равенство отношений:
$\frac{x}{48} = \frac{100}{6}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части на 48:
$x = \frac{48 \cdot 100}{6}$
Сократим 48 и 6:
$x = 8 \cdot 100$
$x = 800$

Способ 2: Через нахождение целого по его части
Мы знаем, что 48 кг — это 6% от целого (общей массы воды). Сначала найдем, сколько килограммов составляет 1%.
$1\% = \frac{48 \text{ кг}}{6} = 8 \text{ кг}$

Поскольку общая масса воды составляет 100%, умножим массу, соответствующую 1%, на 100:
$x = 8 \text{ кг} \cdot 100 = 800 \text{ кг}$

Способ 3: Через десятичные дроби
Переведем проценты в десятичную дробь: $6\% = \frac{6}{100} = 0.06$.
Масса соли (48 кг) получается умножением общей массы воды ($x$) на долю соли (0.06). Составим уравнение:
$0.06 \cdot x = 48$

Решим уравнение относительно $x$:
$x = \frac{48}{0.06} = \frac{4800}{6} = 800$

Все способы приводят к одному и тому же результату. Требуется 800 кг морской воды. Этот ответ соответствует варианту В).

Ответ: 800 кг.

5. Французский язык изучают 12 учащихся класса. Сколько процентов учащихся класса изучают французский язык, если всего в классе 30 учащихся?

А) 24 %

Б) 30 %

В) 40 %

Г) 48 %

5.

Чтобы определить, какой процент учащихся класса изучает французский язык, нужно найти отношение количества учащихся, изучающих язык, к общему числу учащихся в классе, а затем умножить полученное значение на 100%.

По условию задачи:
- Количество учащихся, изучающих французский язык, равно 12.
- Общее количество учащихся в классе равно 30.

Составим пропорцию, где $x$ — это искомый процент:
30 учащихся — это 100%
12 учащихся — это $x$%

Выразим $x$ из пропорции:
$ x = \frac{12 \times 100}{30} $

Выполним вычисления:
$ x = \frac{1200}{30} = \frac{120}{3} = 40 $

Другой способ — это использовать формулу для нахождения процента от числа:
$ \text{Процент} = \left(\frac{\text{часть}}{\text{целое}}\right) \times 100\% $
Подставим значения:
$ \text{Процент} = \left(\frac{12}{30}\right) \times 100\% = 0.4 \times 100\% = 40\% $

Таким образом, 40% учащихся класса изучают французский язык. Этот результат соответствует варианту ответа В).

Ответ: В) 40 %

6. Вкладчик положил в банк 40 000 р. под 10 % годовых. Сколько денег будет на его счёте через два года?

А) 48 400 р.

Б) 48 000 р.

В) 40 800 р.

Г) 44 000 р.

Это задача на начисление сложных процентов. В таких задачах проценты, начисленные за один период (в данном случае, год), прибавляются к основной сумме вклада, и в следующем периоде проценты начисляются уже на новую, увеличенную сумму.

Исходные данные:
Начальная сумма вклада ($S_0$): 40 000 р.
Годовая процентная ставка ($p$): 10 %.
Срок вклада ($n$): 2 года.

Способ 1: Пошаговый расчет

Шаг 1: Расчет суммы через год.
Найдем сумму процентов, начисленных за первый год: $40000 \text{ р.} \times \frac{10}{100} = 4000 \text{ р.}$
Теперь прибавим эту сумму к начальному вкладу, чтобы узнать, сколько денег будет на счете через год: $40000 \text{ р.} + 4000 \text{ р.} = 44000 \text{ р.}$

Шаг 2: Расчет суммы через два года.
На второй год проценты будут начисляться на новую сумму — 44 000 р. Найдем сумму процентов за второй год: $44000 \text{ р.} \times \frac{10}{100} = 4400 \text{ р.}$
Прибавим эту сумму к сумме на начало второго года, чтобы получить итоговый результат: $44000 \text{ р.} + 4400 \text{ р.} = 48400 \text{ р.}$

Способ 2: Использование формулы сложных процентов

Итоговую сумму ($S_n$) можно рассчитать по формуле сложных процентов: $S_n = S_0 \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$, где $S_0$ — начальная сумма, $p$ — годовая процентная ставка, а $n$ — количество лет.
Подставим в формулу наши значения:
$S_2 = 40000 \times \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2$
$S_2 = 40000 \times (1 + 0.1)^2$
$S_2 = 40000 \times (1.1)^2$
$S_2 = 40000 \times 1.21$
$S_2 = 48400 \text{ р.}$

Оба способа расчета показывают, что через два года на счете будет 48 400 р. Этот вариант соответствует ответу А.

Ответ: 48 400 р.

7. Цена некоторого товара после двух последовательных повышений выросла на 50 %, причём в первый раз цена была повышена на 20 %. На сколько процентов состоялось второе повышение?

А) на 30 %

Б) на 25 %

В) на 20 %

Г) на 15 %

Обозначим начальную цену товара как $P_0$.

После первого повышения на 20%, цена стала $P_1$. Чтобы найти новую цену, мы увеличиваем начальную на 20%, что эквивалентно умножению на коэффициент 1.2: $P_1 = P_0 + 0.20 \times P_0 = P_0 \times (1 + 0.20) = 1.2 \times P_0$.

Пусть второе повышение составило $x$ процентов. Новая цена $P_2$ будет рассчитываться уже от цены $P_1$: $P_2 = P_1 + \frac{x}{100} \times P_1 = P_1 \times (1 + \frac{x}{100})$.

Подставим выражение для $P_1$ в формулу для $P_2$: $P_2 = (1.2 \times P_0) \times (1 + \frac{x}{100})$.

По условию задачи, итоговая цена $P_2$ на 50% выше начальной цены $P_0$. Это означает, что конечная цена составляет 150% от начальной, то есть: $P_2 = P_0 + 0.50 \times P_0 = P_0 \times (1 + 0.50) = 1.5 \times P_0$.

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для $P_2$: $(1.2 \times P_0) \times (1 + \frac{x}{100}) = 1.5 \times P_0$.

Сократим обе части уравнения на $P_0$ (так как цена не может быть равна нулю): $1.2 \times (1 + \frac{x}{100}) = 1.5$.

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Сначала разделим обе части на 1.2: $1 + \frac{x}{100} = \frac{1.5}{1.2}$.

Упростим дробь: $\frac{1.5}{1.2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1.25$.

Получаем уравнение: $1 + \frac{x}{100} = 1.25$.

Вычтем 1 из обеих частей: $\frac{x}{100} = 1.25 - 1 = 0.25$.

Умножим обе части на 100, чтобы найти $x$: $x = 0.25 \times 100 = 25$.

Таким образом, второе повышение цены составило 25%. Это соответствует варианту Б).

Ответ: Б) на 25 %

8. Стул стоил 1500 р. Сначала его цену снизили, а потом повысили на одно и то же количество процентов. После этого стул стал стоить 1440 р. На сколько процентов изменяли каждый раз цену стула?

А) на $20 \%$

Б) на $15 \%$

В) на $10 \%$

Г) на $18 \%$

Пусть $x$ — это искомое количество процентов, на которое сначала снизили, а затем повысили цену стула.
Первоначальная цена стула составляла 1500 рублей.

1. Сначала цену снизили на $x$ процентов. Новая цена, $P_1$, стала равна:
$P_1 = 1500 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)$

2. Затем новую цену $P_1$ повысили на те же $x$ процентов. Конечная цена, $P_f$, стала 1440 рублей. Математически это выражается так:
$P_f = P_1 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right)$

Подставим выражение для $P_1$ из первого шага во второй и получим полное уравнение:
$1440 = \left(1500 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right)$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$1440 = 1500 \cdot \left(1^2 - \left(\frac{x}{100}\right)^2\right)$
$1440 = 1500 \cdot \left(1 - \frac{x^2}{10000}\right)$

Теперь решим уравнение относительно $x$. Сначала разделим обе части на 1500:
$\frac{1440}{1500} = 1 - \frac{x^2}{10000}$

Сократим дробь в левой части:
$\frac{1440}{1500} = \frac{144}{150} = \frac{24}{25} = 0.96$

Уравнение примет вид:
$0.96 = 1 - \frac{x^2}{10000}$

Выразим из уравнения член с $x^2$:
$\frac{x^2}{10000} = 1 - 0.96$
$\frac{x^2}{10000} = 0.04$

Найдем $x^2$:
$x^2 = 0.04 \cdot 10000 = 400$

Извлекая квадратный корень из обеих частей (поскольку процент не может быть отрицательным), получаем значение $x$:
$x = \sqrt{400} = 20$

Таким образом, цену стула каждый раз изменяли на 20%.

Ответ: на 20 %.

9. Сплав массой 800 г содержит 15 % меди. Сколько граммов меди надо добавить к этому сплаву, чтобы медь в нём составила 20 %?

А) 50 г

Б) 40 г

В) 30 г

Г) 5 г

Для решения этой задачи определим, сколько граммов меди и сколько граммов другого вещества содержится в сплаве изначально, а затем составим уравнение для нахождения массы добавленной меди.

1. Находим начальную массу меди и массу другого компонента в сплаве.

Общая масса сплава составляет 800 г, а содержание меди в нем — 15%. Масса меди в начальном сплаве вычисляется как произведение общей массы на долю меди:

$m_{\text{меди}} = 800 \text{ г} \times \frac{15}{100} = 800 \times 0.15 = 120 \text{ г}$.

Остальная часть сплава, масса которой не будет меняться при добавлении чистой меди, составляет:

$m_{\text{другое}} = 800 \text{ г} - 120 \text{ г} = 680 \text{ г}$.

2. Составляем уравнение для нового сплава.

Пусть $x$ — это масса меди (в граммах), которую нужно добавить в сплав. После добавления $x$ граммов меди:

• Новая масса меди в сплаве станет: $120 + x$ г.
• Новая общая масса сплава станет: $800 + x$ г.

По условию, в новом сплаве содержание меди должно составлять 20% (или 0.2). Соотношение массы меди к общей массе сплава должно быть равно 0.2. Составляем уравнение:

$\frac{120 + x}{800 + x} = 0.2$

3. Решаем полученное уравнение.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(800 + x)$, чтобы избавиться от дроби:

$120 + x = 0.2 \times (800 + x)$

Раскроем скобки в правой части:

$120 + x = 160 + 0.2x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:

$x - 0.2x = 160 - 120$

$0.8x = 40$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 0.8:

$x = \frac{40}{0.8} = \frac{400}{8} = 50$

Следовательно, к сплаву нужно добавить 50 г меди.

Проверка:

Если добавить 50 г меди, новая масса меди составит $120 + 50 = 170$ г, а новая общая масса сплава — $800 + 50 = 850$ г. Проверим процентное содержание меди:

$\frac{170}{850} \times 100\% = \frac{17}{85} \times 100\% = \frac{1}{5} \times 100\% = 20\%$.

Расчеты верны, и результат соответствует условию задачи.

Ответ: А) 50 г

10. Запишите в виде двойного неравенства то, что $x = 12 \pm 0,2$.

А) $11,8 \le x \le 12,2$

Б) $12 \le x \le 12,2$

В) $11,8 \le x \le 12$

Г) $11,6 \le x \le 12,4$

Запись $x = 12 \pm 0,2$ означает, что значение переменной $x$ находится в некотором промежутке. Это стандартная форма записи для приближенного значения, где 12 — это само значение, а 0,2 — это погрешность или допуск.

Чтобы преобразовать эту запись в двойное неравенство, нужно найти минимальное и максимальное возможные значения для $x$.

1. Находим нижнюю границу (минимальное значение): для этого нужно вычесть погрешность из основного значения.
$x_{min} = 12 - 0,2 = 11,8$

2. Находим верхнюю границу (максимальное значение): для этого нужно прибавить погрешность к основному значению.
$x_{max} = 12 + 0,2 = 12,2$

Таким образом, значение $x$ находится в пределах от 11,8 до 12,2 включительно. В виде двойного неравенства это записывается так:
$11,8 \le x \le 12,2$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом А.

А) $11,8 \le x \le 12,2$ - Верно.
Б) $12 \le x \le 12,2$ - Неверно, нижняя граница не учтена.
В) $11,8 \le x \le 12$ - Неверно, верхняя граница не учтена.
Г) $11,6 \le x \le 12,4$ - Неверно, использована погрешность 0,4, а не 0,2.

Ответ: А

11. Известно, что $x = 23,5 \pm 0,1$. Какому из данных чисел может быть равным точное значение $x$?

А) 23,3

Б) 23,7

В) 24

Г) 23,6

Условие задачи $x = 23,5 \pm 0,1$ означает, что точное значение переменной $x$ находится в определенном диапазоне. Это можно представить в виде двойного неравенства.

Найдем нижнюю и верхнюю границы этого диапазона:

• Нижняя граница: $23,5 - 0,1 = 23,4$
• Верхняя граница: $23,5 + 0,1 = 23,6$

Таким образом, точное значение $x$ должно удовлетворять неравенству:

$23,4 \le x \le 23,6$

Теперь необходимо проверить, какое из предложенных чисел попадает в полученный промежуток $[23,4; 23,6]$.

А) 23,3
Это число меньше, чем нижняя граница интервала ($23,3 < 23,4$), поэтому оно не может быть значением $x$.

Б) 23,7
Это число больше, чем верхняя граница интервала ($23,7 > 23,6$), поэтому оно не может быть значением $x$.

В) 24
Это число также больше, чем верхняя граница интервала ($24 > 23,6$), и не может быть значением $x$.

Г) 23,6
Это число удовлетворяет условию $23,4 \le 23,6 \le 23,6$. Оно равно верхней границе интервала и, следовательно, может быть точным значением $x$.

Ответ: Г) 23,6.

12. Найдите абсолютную погрешность приближения числа 5,307 числом 5,31.

А) 0,003

Б) -0,003

В) 0,03

Г) 0,004

Абсолютная погрешность приближения – это модуль разности между точным (истинным) значением и его приближенным значением.

Формула для вычисления абсолютной погрешности $\Delta$:

$\Delta = |a - x|$

где $a$ – точное значение, а $x$ – его приближенное значение.

В условиях задачи дано:
Точное значение: $a = 5,307$
Приближенное значение: $x = 5,31$

Подставим эти значения в формулу и произведем вычисления:

$\Delta = |5,307 - 5,31| = |5,307 - 5,310| = |-0,003|$

Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу:

$\Delta = 0,003$

Следовательно, абсолютная погрешность приближения равна $0,003$. Этот результат соответствует варианту ответа А.

Ответ: А) 0,003

13. В справочнике указано, что плотность серебра равна $10,5 \text{ г}/\text{см}^3$.

С какой точностью указано приближённое значение плотности серебра?

А) с точностью до $0,01 \text{ г}/\text{см}^3$

Б) с точностью до $0,1 \text{ г}/\text{см}^3$

В) с точностью до $0,5 \text{ г}/\text{см}^3$

Г) с точностью до $0,051 \text{ г}/\text{см}^3$

Точность, с которой указано приближенное значение, определяется по последней значащей цифре в его записи. В условии задачи сказано, что плотность серебра равна $10,5 \text{ г/см}^3$.

В числе $10,5$ последняя цифра (5) находится в разряде десятых. Это означает, что значение было округлено до десятых. Единица этого разряда равна $0,1$. Следовательно, точность, с которой указано значение плотности, составляет $0,1 \text{ г/см}^3$.

Если бы точность была до сотых, то есть до $0,01 \text{ г/см}^3$, то значение было бы записано с двумя знаками после запятой, например, $10,50 \text{ г/см}^3$.

Среди предложенных вариантов:
А) с точностью до $0,01 \text{ г/см}^3$
Б) с точностью до $0,1 \text{ г/см}^3$
В) с точностью до $0,5 \text{ г/см}^3$
Г) с точностью до $0,051 \text{ г/см}^3$
Правильным является вариант Б, так как он соответствует точности до десятых.

Ответ: Б) с точностью до $0,1 \text{ г/см}^3$