Страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

677. В таблице приведено распределение по возрасту отдыхающих в молодёжном спортивном лагере в один из летних месяцев.

1) Заполните третью строку таблицы.

2) Найдите моду и среднее значение полученных данных.

1) Заполните третью строку таблицы.

Чтобы найти относительную частоту для каждой возрастной группы, необходимо сначала вычислить общее количество отдыхающих в лагере. Для этого сложим все значения из второй строки таблицы "Количество отдыхающих".

Общее количество отдыхающих (N):
$N = 12 + 21 + 20 + 32 + 20 + 20 + 19 + 24 + 15 + 17 = 200$ человек.

Далее, для каждой возрастной группы вычислим относительную частоту в процентах по формуле:

Относительная частота (%) = $ \frac{\text{Количество отдыхающих данного возраста}}{N} \times 100\% $

• Возраст 16 лет: $ \frac{12}{200} \times 100\% = 6\% $
• Возраст 17 лет: $ \frac{21}{200} \times 100\% = 10.5\% $
• Возраст 18 лет: $ \frac{20}{200} \times 100\% = 10\% $
• Возраст 19 лет: $ \frac{32}{200} \times 100\% = 16\% $
• Возраст 20 лет: $ \frac{20}{200} \times 100\% = 10\% $
• Возраст 21 год: $ \frac{20}{200} \times 100\% = 10\% $
• Возраст 22 года: $ \frac{19}{200} \times 100\% = 9.5\% $
• Возраст 23 года: $ \frac{24}{200} \times 100\% = 12\% $
• Возраст 24 года: $ \frac{15}{200} \times 100\% = 7.5\% $
• Возраст 25 лет: $ \frac{17}{200} \times 100\% = 8.5\% $

Проверка: Сумма всех относительных частот должна быть равна 100%.
$6 + 10.5 + 10 + 16 + 10 + 10 + 9.5 + 12 + 7.5 + 8.5 = 100\%$. Расчеты верны.

Ответ: Заполненная таблица выглядит следующим образом:

2) Найдите моду и среднее значение полученных данных.

Мода – это значение в наборе данных, которое встречается наиболее часто. В данном случае, это возраст, которому соответствует наибольшее количество отдыхающих.
Смотрим на строку "Количество отдыхающих": 12, 21, 20, 32, 20, 20, 19, 24, 15, 17.
Наибольшее число отдыхающих – 32, что соответствует возрасту 19 лет. Следовательно, мода данного распределения равна 19.

Среднее значение (средний возраст) вычисляется по формуле среднего взвешенного:

$ \text{Среднее} = \frac{\sum (\text{возраст} \times \text{количество отдыхающих})}{\text{общее количество отдыхающих}} $

Сначала найдем сумму произведений возраста на соответствующее количество отдыхающих:
$ \sum = (16 \times 12) + (17 \times 21) + (18 \times 20) + (19 \times 32) + (20 \times 20) + (21 \times 20) + (22 \times 19) + (23 \times 24) + (24 \times 15) + (25 \times 17) $

$ \sum = 192 + 357 + 360 + 608 + 400 + 420 + 418 + 552 + 360 + 425 = 4092 $

Теперь разделим эту сумму на общее количество отдыхающих (200):

$ \text{Среднее значение} = \frac{4092}{200} = 20.46 $ лет.

Ответ: Мода равна 19 годам, среднее значение (средний возраст) равно 20.46 годам.

678. Учащихся одной пятигорской школы опросили: сколько раз они летали на самолёте. Полученные данные приведены в таблице.

Количество полётов: 0, 1, 2, 3, 4, 5

Количество учащихся: 280, 92, 56, 38, 20, 14

Относительная частота, %:

1) Заполните третью строку таблицы.

2) Представьте полученные данные в виде столбчатой диаграммы.

3) Найдите моду и среднее значение полученных данных.

4) Поясните, можно ли считать рассматриваемую выборку репрезентативной для выводов относительно всех школьников города Пятигорска.

1) Заполните третью строку таблицы.

Для того чтобы найти относительную частоту для каждого значения, сначала необходимо найти общее количество опрошенных учащихся (объём выборки). Сложим все значения из строки "Количество учащихся":

$N = 280 + 92 + 56 + 38 + 20 + 14 = 500$ учащихся.

Относительная частота в процентах вычисляется по формуле:

Относительная частота (%) $= \frac{\text{Частота}}{\text{Объём выборки}} \times 100\%$

Рассчитаем относительную частоту для каждого количества полётов:

• Для 0 полётов: $\frac{280}{500} \times 100\% = 0.56 \times 100\% = 56\%$
• Для 1 полёта: $\frac{92}{500} \times 100\% = 0.184 \times 100\% = 18.4\%$
• Для 2 полётов: $\frac{56}{500} \times 100\% = 0.112 \times 100\% = 11.2\%$
• Для 3 полётов: $\frac{38}{500} \times 100\% = 0.076 \times 100\% = 7.6\%$
• Для 4 полётов: $\frac{20}{500} \times 100\% = 0.04 \times 100\% = 4\%$
• Для 5 полётов: $\frac{14}{500} \times 100\% = 0.028 \times 100\% = 2.8\%$

Занесём полученные значения в таблицу.

Ответ: Заполненная таблица выглядит следующим образом:

2) Представьте полученные данные в виде столбчатой диаграммы.

На горизонтальной оси отложим количество полётов, а на вертикальной — соответствующее количество учащихся. Высота каждого столбца будет равна частоте (количеству учащихся) для данного значения.

Ответ:

3) Найдите моду и среднее значение полученных данных.

Мода — это значение в выборке, которое встречается чаще всего. В данном случае это количество полётов, которому соответствует наибольшее количество учащихся.

Смотря на строку "Количество учащихся", мы видим, что самое большое число — 280. Оно соответствует 0 полётов. Следовательно, мода данной выборки равна 0.

Среднее значение (или среднее арифметическое) для сгруппированных данных вычисляется по формуле:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i \cdot f_i}{N}$

где $x_i$ — значение (количество полётов), $f_i$ — его частота (количество учащихся), а $N$ — общий объём выборки.

Мы уже знаем, что $N = 500$. Вычислим сумму произведений значений на их частоты:

$\sum x_i \cdot f_i = (0 \cdot 280) + (1 \cdot 92) + (2 \cdot 56) + (3 \cdot 38) + (4 \cdot 20) + (5 \cdot 14)$

$\sum x_i \cdot f_i = 0 + 92 + 112 + 114 + 80 + 70 = 468$

Теперь найдём среднее значение:

$\bar{x} = \frac{468}{500} = 0.936$

Ответ: Мода = 0 полётов. Среднее значение = 0.936 полётов.

4) Поясните, можно ли считать рассматриваемую выборку репрезентативной для выводов относительно всех школьников города Пятигорска.

Репрезентативная выборка должна правильно отражать характеристики всей генеральной совокупности (в данном случае, всех школьников города Пятигорска). Опрос, проведённый только в одной школе, не может считаться репрезентативным по нескольким причинам:

• Отсутствие случайности: Выборка не является случайной. Для репрезентативности необходимо было бы случайным образом отбирать учащихся из разных школ по всему городу.
• Социально-экономические факторы: Школы могут значительно отличаться по социально-экономическому статусу семей учащихся. В одной школе могут учиться дети из более обеспеченных семей, которые чаще могут позволить себе авиаперелёты, а в другой — наоборот. Например, гимназия или лицей могут отличаться от обычной общеобразовательной школы на окраине города.
• Возрастной состав: В задаче не указано, учащиеся каких классов были опрошены. Если это была начальная школа, то у детей было меньше возможностей летать на самолёте, чем у старшеклассников. Результаты опроса только в одной школе могут быть смещены из-за её специфического возрастного состава.

Таким образом, данные, полученные в одной конкретной школе, скорее всего, отражают ситуацию именно в этой школе, но не могут быть достоверно распространены на всех школьников Пятигорска.

Ответ: Нет, данную выборку нельзя считать репрезентативной. Она сделана на базе только одной школы и не учитывает возможное разнообразие (социально-экономическое, возрастное и т.д.) среди всех школьников города Пятигорска. Выводы, сделанные на основе этих данных, нельзя обобщать на всю генеральную совокупность.

679. В течение первых десяти дней мая температура воздуха в 6 ч утра была такой: $16 \,^{\circ}\text{C}$; $14 \,^{\circ}\text{C}$; $12 \,^{\circ}\text{C}$; $16 \,^{\circ}\text{C}$; $15 \,^{\circ}\text{C}$; $15 \,^{\circ}\text{C}$; $15 \,^{\circ}\text{C}$; $13 \,^{\circ}\text{C}$; $15 \,^{\circ}\text{C}$; $17 \,^{\circ}\text{C}$; $14 \,^{\circ}\text{C}$. Найдите меры центральной тенденции полученной совокупности данных. Заполните частотную таблицу.

Температура воздуха, °C

Частота

Относительная частота, %

Для решения задачи сначала необходимо проанализировать предоставленный набор данных. Исходная совокупность данных о температуре воздуха за первые десять дней мая:

16 °C; 14 °C; 12 °C; 16 °C; 15 °C; 15 °C; 13 °C; 15 °C; 17 °C; 14 °C.

Для удобства анализа упорядочим этот ряд данных по возрастанию (создадим вариационный ряд):

12, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 17.

Общее количество измерений (объем совокупности) $n = 10$.

Найдите меры центральной тенденции полученной совокупности данных.

Меры центральной тенденции — это числа, которые описывают "центр" или "типичное значение" набора данных. Основными мерами являются среднее арифметическое, мода и медиана.

1. Среднее арифметическое — это сумма всех значений в наборе данных, деленная на их количество.
   Сумма всех температур: $12 + 13 + 14 + 14 + 15 + 15 + 15 + 16 + 16 + 17 = 147$ °C.
   Среднее арифметическое: $\bar{x} = \frac{\text{Сумма всех значений}}{n} = \frac{147}{10} = 14.7$ °C.
2. Мода ($Mo$) — это значение, которое встречается в наборе данных наиболее часто.
   В ряду 12, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 17 значение 15 °C встречается 3 раза, что чаще любого другого значения.
   Следовательно, мода равна 15 °C.
3. Медиана ($Me$) — это значение, которое делит упорядоченный набор данных пополам.
   Поскольку количество данных четное ($n = 10$), медиана вычисляется как среднее арифметическое двух центральных значений. В нашем случае это 5-й и 6-й элементы упорядоченного ряда.
   Упорядоченный ряд: 12, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 17.
   Медиана: $Me = \frac{15 + 15}{2} = 15$ °C.

Ответ: среднее арифметическое — 14.7 °C, мода — 15 °C, медиана — 15 °C.

Заполните частотную таблицу.

Для заполнения таблицы необходимо определить уникальные значения температуры, подсчитать их частоту (сколько раз каждое значение встречается) и относительную частоту (долю каждого значения в общем объеме данных, выраженную в процентах).

Расчеты:

• Температура 12 °C: частота = 1. Относительная частота = $\frac{1}{10} \times 100\% = 10\%$.
• Температура 13 °C: частота = 1. Относительная частота = $\frac{1}{10} \times 100\% = 10\%$.
• Температура 14 °C: частота = 2. Относительная частота = $\frac{2}{10} \times 100\% = 20\%$.
• Температура 15 °C: частота = 3. Относительная частота = $\frac{3}{10} \times 100\% = 30\%$.
• Температура 16 °C: частота = 2. Относительная частота = $\frac{2}{10} \times 100\% = 20\%$.
• Температура 17 °C: частота = 1. Относительная частота = $\frac{1}{10} \times 100\% = 10\%$.

Сумма частот: $1+1+2+3+2+1 = 10$. Сумма относительных частот: $10\%+10\%+20\%+30\%+20\%+10\% = 100\%$.

Заполненная частотная таблица:

Ответ: частотная таблица заполнена выше.