Страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какую науку называют статистикой?

1. Статистика — это наука и отрасль практической деятельности, которая занимается сбором, обработкой, анализом и интерпретацией данных о массовых явлениях и процессах. Она позволяет выявлять закономерности в больших массивах информации, которые могут быть незаметны при рассмотрении единичных случаев.

Термин "статистика" происходит от латинского слова status, что означает "состояние дел". Изначально статистика использовалась для сбора сведений о государстве: численности населения, его составе, объеме производства, торговле и т.д., то есть для нужд государственного управления.

Основными задачами статистики являются:

• Сбор данных: Разработка методов сбора первичной информации (например, через опросы, эксперименты, наблюдения) и обеспечение ее достоверности.
• Систематизация и обобщение данных: Группировка и сведение собранной информации в таблицы, построение графиков и диаграмм для наглядного представления.
• Анализ данных: Применение математических методов для вычисления обобщающих показателей (например, среднего значения, моды, медианы), анализа связей между переменными и выявления тенденций.
• Интерпретация и прогнозирование: Формулирование выводов на основе проанализированных данных, оценка их надежности и распространение результатов с выборочной совокупности на всю генеральную совокупность, а также построение прогнозов.

Современную статистику принято разделять на два больших раздела:

1. Описательная (дескриптивная) статистика: занимается обобщением и представлением данных в удобной форме (таблицы, графики, расчет средних величин, мер разброса), не делая выводов о более крупной группе (генеральной совокупности).
2. Математическая (аналитическая) статистика или статистика выводов: основываясь на данных выборки и используя теорию вероятностей, позволяет делать выводы, заключения и прогнозы о всей генеральной совокупности с определенной степенью достоверности.

Таким образом, статистика — это мощный инструмент познания окружающего мира, который применяется практически во всех сферах человеческой деятельности: в экономике, социологии, медицине, биологии, инженерии и многих других науках.

Ответ: Статистика — это наука, которая занимается методами сбора, организации, анализа, интерпретации и представления данных с целью выявления закономерностей и получения выводов о массовых явлениях.

2. Из каких этапов состоит статистическое исследование?

Статистическое исследование — это научно-организованный процесс сбора, обработки, анализа и интерпретации данных о массовых социально-экономических и других явлениях с целью выявления их закономерностей. Этот процесс традиционно делится на несколько взаимосвязанных этапов.

• Этап 1: Сбор статистических данных (статистическое наблюдение)

  Это начальный, организационный этап, на котором осуществляется сбор первичной информации об изучаемом явлении. Он включает в себя:

  • Подготовительная работа: определение цели и задач исследования, объекта и единицы наблюдения, перечня признаков, подлежащих регистрации. На этом же этапе разрабатывается инструментарий (анкеты, опросные листы, формы отчетности) и составляется план исследования.

  • Непосредственный сбор данных: регистрация фактов и сбор сведений. Сбор может быть сплошным (обследуется вся совокупность, например, перепись населения) или выборочным (обследуется только репрезентативная часть совокупности).

  Ответ: Первый этап заключается в планировании исследования и сборе первичной информации об изучаемом явлении в соответствии с разработанной программой.

• Этап 2: Сводка и группировка данных

  На этом этапе собранные в ходе наблюдения данные подвергаются систематизации и обработке, чтобы сделать их пригодными для анализа. Происходит:

  • Контроль данных: проверка полноты и качества собранной информации, исправление ошибок.

  • Группировка: разделение всей совокупности данных на однородные группы по определенным признакам (например, группировка работников предприятия по стажу работы, уровню образования).

  • Сводка: подсчет итогов по каждой группе и по всей совокупности в целом. Результаты сводки, как правило, оформляются в виде статистических таблиц.

  Ответ: Второй этап — это обработка и организация собранных данных, их систематизация и представление в упорядоченном виде, чаще всего в форме таблиц.

• Этап 3: Статистический анализ

  Это центральный этап исследования, на котором с помощью специальных методов выявляются закономерности и взаимосвязи, присущие изучаемому явлению. На этом этапе рассчитываются и анализируются обобщающие статистические показатели:

  • Абсолютные и относительные величины (показатели структуры, динамики, сравнения).

  • Средние величины, которые характеризуют типичный уровень признака в совокупности (например, средняя арифметическая: $\bar{x} = \frac{\sum{x_i}}{n}$).

  • Показатели вариации, которые измеряют степень колеблемости признака вокруг среднего значения (размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение).

  • Анализ связей между признаками (корреляционный и регрессионный анализ).

  Ответ: Третий этап включает в себя вычисление и изучение обобщающих показателей для количественной характеристики изучаемых процессов и выявления их закономерностей.

• Этап 4: Интерпретация и представление результатов

  Заключительный этап, на котором проводится осмысление полученных на этапе анализа результатов, их объяснение и формулировка итоговых выводов. Результаты исследования должны быть представлены в понятной и наглядной форме.

  • Формулировка выводов: на основе проанализированных данных делаются заключения, которые отвечают на поставленные в начале исследования вопросы, подтверждают или опровергают гипотезы.

  • Наглядное представление: для лучшего восприятия информации используются графики (гистограммы, полигоны), диаграммы (столбиковые, секторные) и статистические карты.

  • Подготовка отчета или публикации: составление итогового документа, содержащего описание методологии, основные результаты, выводы и, при необходимости, практические рекомендации.

  Ответ: Четвертый этап — это объяснение полученных цифровых результатов, формулирование содержательных выводов и их наглядное представление в виде текста, таблиц и графиков.

3. Что в статистике называют выборкой?

В статистике выборкой (или выборочной совокупностью) называют часть (подмножество) объектов, случайно или по определенным правилам отобранных из более крупного множества, которое называется генеральной совокупностью. Основная задача использования выборки — изучение её характеристик для того, чтобы сделать обоснованные выводы и обобщения относительно всей генеральной совокупности, из которой эта выборка была извлечена.

Изучение выборки вместо всей совокупности применяется по нескольким причинам:

- Экономия ресурсов: Анализ всей совокупности (сплошное исследование) может быть чрезвычайно дорогим и трудоёмким.

- Ограниченность во времени: Сбор и обработка данных по выборке занимает значительно меньше времени.

- Невозможность сплошного исследования: В некоторых случаях исследование объекта приводит к его разрушению (например, проверка лампочек на долговечность или автомобилей на безопасность при столкновении).

Ключевые понятия, связанные с выборкой:

- Генеральная совокупность — это полный набор всех возможных объектов или наблюдений, которые представляют интерес для исследователя. Её объём (количество элементов) обозначается как $N$.

- Выборочная совокупность (выборка) — это подмножество генеральной совокупности, которое было отобрано для исследования. Объём выборки обозначается как $n$. Обычно $n$ значительно меньше $N$.

- Репрезентативность — это ключевое свойство качественной выборки. Выборка считается репрезентативной, если она адекватно отражает характеристики и структуру генеральной совокупности. Например, если в генеральной совокупности 50% мужчин и 50% женщин, то репрезентативная выборка также должна содержать примерно равные доли мужчин и женщин. Достигается репрезентативность, как правило, за счет случайности отбора.

- Выборочные статистики и параметры совокупности. Цель анализа выборки — оценить неизвестные параметры генеральной совокупности (например, среднее значение $\mu$, стандартное отклонение $\sigma$) с помощью соответствующих выборочных статистик (например, выборочного среднего $\bar{x}$ и выборочного стандартного отклонения $s$).

Пример:

Предположим, мы хотим узнать средний рост всех студентов в большом университете (например, 20 000 человек).

- Генеральная совокупность: все 20 000 студентов университета. Её объём $N=20000$.

- Выборка: мы случайным образом отбираем 400 студентов и измеряем их рост. Это наша выборка объёмом $n=400$.

- Анализ и вывод: Мы вычисляем средний рост для этих 400 студентов (например, получаем $\bar{x} = 175$ см). На основе этого результата мы делаем вывод, что средний рост всех студентов университета (параметр $\mu$) составляет примерно 175 см.

Ответ: Выборка — это часть объектов из общего множества (генеральной совокупности), отобранная для изучения с целью получения представления о свойствах всего этого множества.

4. На чём должен основываться сбор данных?

Сбор данных — это фундаментальный этап любого исследования или проекта, основанного на данных. Чтобы этот процесс был эффективным и привел к значимым результатам, он должен базироваться на нескольких ключевых принципах.

Цели и задачи

Прежде всего, сбор данных должен основываться на четко определенных целях и задачах. Необходимо ясно понимать, какую проблему вы пытаетесь решить или на какой вопрос хотите ответить. Цели должны быть конкретными, измеримыми, достижимыми, релевантными и ограниченными во времени (SMART). Без ясной цели сбор данных превращается в бессмысленный процесс накопления информации, которая может оказаться бесполезной.

Гипотезы

На основе поставленных целей выдвигаются гипотезы — предположения, которые предстоит проверить с помощью собранных данных. Гипотезы направляют процесс сбора, помогая определить, какие именно данные необходимы для их подтверждения или опровержения. Например, если гипотеза звучит как "Внедрение новой функции в приложение увеличит удержание пользователей на 10%", то собирать нужно данные об использовании этой функции и показателях удержания до и после ее внедрения.

План и методология

Сбор данных должен базироваться на заранее разработанном плане и методологии. План должен описывать: источники данных (первичные, то есть собранные самостоятельно через опросы, или вторичные, то есть уже существующие), методы сбора (интервью, наблюдения, веб-скрейпинг, использование API), выборку (кто или что будет объектом сбора данных и как обеспечить ее репрезентативность) и инструменты (программное обеспечение для сбора и хранения).

Качество данных

Процесс должен быть нацелен на получение качественных данных. Это означает, что данные должны быть точными (соответствовать действительности), полными (без пропусков), достоверными (собраны по правилам), актуальными (свежими) и согласованными (без внутренних противоречий).

Этика и правовые нормы

При сборе данных, особенно персональных, необходимо строго соблюдать этические принципы и законодательство (например, GDPR в Европе или ФЗ-152 "О персональных данных" в России). Это включает в себя получение информированного согласия, обеспечение конфиденциальности и анонимности, безопасное хранение и прозрачность в отношении целей использования данных.

Ресурсы

Наконец, сбор данных должен быть соотнесен с имеющимися ресурсами: временем, бюджетом, технологиями и квалификацией персонала. План должен быть реалистичным и выполнимым в заданных ограничениях.

Ответ: Сбор данных должен основываться на четко определенных целях и задачах, проверяемых гипотезах, продуманной методологии сбора, принципах обеспечения качества данных, соблюдении этических и правовых норм, а также на реалистичной оценке доступных ресурсов.

5. Какие существуют способы представления данных?

Данные могут быть представлены различными способами, в зависимости от их природы, цели использования и среды хранения или передачи. Основные способы представления данных можно классифицировать следующим образом:

Текстовое представление

Это способ представления информации с помощью последовательности символов: букв, цифр, знаков препинания и других специальных знаков, составляющих определенный алфавит. Этот способ является основным для письменности и хранения текстовой информации в компьютерах. Каждый символ кодируется определенным числовым кодом (например, в системах ASCII или Unicode).

Примеры:

• Книги, статьи, письма
• Текстовые документы и веб-страницы
• Исходный код компьютерных программ

Ответ: Текстовый способ представляет данные в виде упорядоченной последовательности символов, предназначенной для чтения и обработки человеком или компьютером.

Числовое представление

Этот способ используется для представления количественной информации. Данные выражаются в виде чисел. В информатике числовые данные могут быть представлены в различных системах счисления (двоичной, десятичной, шестнадцатеричной) и форматах (целые числа, числа с плавающей запятой). Этот способ фундаментален для любых вычислений.

Примеры:

• Результаты измерений (температура, масса, длина)
• Финансовые показатели (цены, зарплаты, налоги)
• Статистические данные (численность населения, процент выполнения плана)

Ответ: Числовой способ используется для кодирования количественных характеристик объектов и явлений с помощью чисел.

Графическое представление

Этот способ представляет данные в виде визуальных образов. Он очень эффективен для наглядной демонстрации связей, тенденций и структур, которые трудно воспринять в текстовом или числовом виде. Графическое представление бывает двух основных типов: растровое (изображение состоит из набора точек-пикселей) и векторное (изображение описывается математическими формулами).

Примеры:

• Фотографии, рисунки, чертежи
• Диаграммы (круговые, столбчатые) и графики функций
• Географические карты и схемы (например, схема метро)

Ответ: Графический способ представляет данные в визуальной форме, что делает информацию более наглядной и понятной для восприятия.

Табличное представление

Это структурированный способ представления данных, при котором информация организуется в виде таблицы, состоящей из строк и столбцов. Строки обычно соответствуют отдельным объектам или записям, а столбцы — их характеристикам (атрибутам). Таблицы удобны для обработки, поиска и сравнения однотипных данных.

Примеры:

• Расписание занятий или движения транспорта
• Базы данных (например, список контактов в телефоне)
• Периодическая система химических элементов Д. И. Менделеева

Ответ: Табличный способ представляет данные в виде структурированной сетки из строк и столбцов для упорядочивания и анализа однотипной информации.

Звуковое представление

Этот способ используется для представления информации в виде звука. В цифровом мире звук представляется путем дискретизации аналогового звукового сигнала — измерения его амплитуды через равные промежутки времени и записи полученных значений в виде чисел.

Примеры:

• Человеческая речь
• Музыкальные произведения
• Звуковые эффекты и сигналы (сирена, звонок)

Ответ: Звуковой способ представляет данные в форме звуковых волн, кодируя информацию для слухового восприятия.

Видеопредставление (комбинированный способ)

Видео является комплексным способом представления данных, так как оно объединяет в себе последовательность быстро сменяющихся графических изображений (кадров) и, как правило, синхронизированное с ними звуковое сопровождение. Этот способ позволяет передавать информацию о движущихся объектах и динамических процессах.

Примеры:

• Кинофильмы и видеоклипы
• Видеозаписи лекций, событий
• Анимация и компьютерные игры

Ответ: Видеопредставление — это комбинированный способ, который объединяет графическую (видеоряд) и звуковую информацию для передачи динамических сцен.

6. Приведите примеры применения статистической информации в форме средних значений.

Статистическая информация в форме средних значений является одним из наиболее распространенных способов обобщения данных. Среднее значение позволяет охарактеризовать всю совокупность данных одним числом, что упрощает их анализ, сравнение и понимание. Основным и наиболее часто используемым средним значением является среднее арифметическое, которое вычисляется по формуле: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$, где $x_i$ — это отдельные значения в наборе данных, а $n$ — их количество. Ниже приведены примеры применения средних значений в различных сферах.

В экономике средние значения используются для анализа макроэкономических показателей и для принятия управленческих решений в бизнесе. Например, показатель средней заработной платы по стране или региону. Он рассчитывается путем деления общего фонда заработной платы на среднесписочную численность работников. Этот показатель позволяет правительству оценивать уровень жизни населения, инфляционные риски и разрабатывать социальную политику. Компании используют его для анализа рынка труда и формирования конкурентоспособных предложений по зарплате.

Другой пример — средний чек в розничной торговле. Магазин собирает данные о сумме каждой покупки за определенный период (например, день или месяц) и вычисляет среднее значение. Если за день было совершено $n=150$ покупок на общую сумму $S=90000$ рублей, то средний чек составит $\bar{C} = \frac{S}{n} = \frac{90000}{150} = 600$ рублей. Этот показатель помогает оценить покупательскую способность, эффективность акций и работу продавцов-консультантов.

Ответ: В экономике и бизнесе средние значения (например, средняя зарплата, средний чек) используются для оценки экономических тенденций, уровня жизни, покупательского поведения и эффективности бизнес-процессов.

Синоптики и климатологи постоянно используют средние значения для описания погоды и климата. Например, среднесуточная температура воздуха. Для ее расчета производят замеры температуры несколько раз в сутки (например, каждые 3 часа), а затем находят среднее арифметическое этих значений. Этот показатель более точно отражает температурный режим за сутки, чем отдельные замеры. На основе среднесуточных температур рассчитываются среднемесячные, среднегодовые температуры и климатические нормы. Сравнение текущих средних значений с многолетними нормами позволяет выявлять аномалии и отслеживать глобальные климатические изменения.

Ответ: В метеорологии средние значения (среднесуточная, среднегодовая температура, среднее количество осадков) применяются для составления прогнозов погоды, характеристики климата и изучения долгосрочных климатических трендов.

В социальных науках средние значения помогают составить "портрет" общества. Одним из важнейших демографических показателей является средняя ожидаемая продолжительность жизни. Этот показатель рассчитывается для людей, родившихся в определенном году, и отражает среднее количество лет, которое они проживут, если на протяжении их жизни уровень смертности в каждой возрастной группе останется таким же, как в год расчета. Он служит ключевым индикатором качества системы здравоохранения, уровня жизни и социального благополучия в стране.

Также рассчитывается средний возраст населения, который помогает правительству прогнозировать нагрузку на пенсионную систему, рынок труда и систему образования.

Ответ: В социологии и демографии средние значения (средняя продолжительность жизни, средний возраст) используются для характеристики населения, оценки социального развития и планирования государственной политики.

В сфере образования средние значения являются неотъемлемой частью системы оценки. Самый известный пример — средний балл ученика или студента (GPA). Он вычисляется как среднее арифметическое всех оценок за определенный период. Например, если ученик получил за четверть оценки 5, 4, 5, 3, 4, то его средний балл будет равен $\bar{B} = \frac{5+4+5+3+4}{5} = 4.2$. Средний балл используется для перевода на следующий курс, при поступлении в вузы, для назначения стипендий и для общей оценки успеваемости.

Кроме того, рассчитывается средний балл по экзамену для всего класса или школы. Это позволяет учителям и администрации оценить уровень усвоения материала всей группой учащихся, сравнить результаты разных классов и выявить пробелы в преподавании.

Ответ: В образовании средний балл используется как для индивидуальной оценки успеваемости учащегося, так и для анализа качества образовательного процесса на уровне класса, школы или даже страны.

В медицине средние значения используются для определения "нормы" различных физиологических показателей. Например, среднее нормальное артериальное давление, средний уровень холестерина или сахара в крови. Эти средние показатели получены на основе статистического анализа данных большой группы здоровых людей. Отклонение индивидуальных показателей пациента от этих средних "норм" может сигнализировать о наличии заболевания. Также средние значения используются в клинических исследованиях для оценки эффективности нового лекарства: сравнивают среднее изменение состояния в группе, принимавшей препарат, со средней динамикой в контрольной группе (плацебо).

Ответ: В медицине средние значения устанавливают референсные (нормальные) показатели здоровья и применяются для оценки эффективности лечения и лекарственных препаратов.

7. Приведите примеры, когда статистическая информация в форме средних значений неточно отображает ситуацию.

Статистическая информация в форме среднего арифметического значения может неточно или даже ложно отображать реальную ситуацию. Это происходит в основном тогда, когда в наборе данных присутствуют так называемые выбросы — значения, которые значительно отличаются от большинства других. Среднее арифметическое очень чувствительно к таким выбросам и может сильно смещаться в их сторону, создавая искаженное представление о типичном значении в выборке. В таких случаях для более точной оценки ситуации лучше использовать другие меры центральной тенденции, такие как медиана (значение, которое находится в середине упорядоченного набора данных) или мода (наиболее часто встречающееся значение).

Вот несколько наглядных примеров.

Пример 1: Средняя заработная плата

Представим себе небольшую компанию, в которой работает 10 человек. 9 сотрудников получают зарплату в 50 000 рублей, а директор компании — 500 000 рублей. Посчитаем среднюю заработную плату по компании.

Расчет среднего значения:$Z_{ср} = \frac{9 \times 50000 + 500000}{10} = \frac{450000 + 500000}{10} = \frac{950000}{10} = 95000 \text{ рублей}$

Средняя зарплата составляет 95 000 рублей. Эта цифра создает впечатление, что сотрудники в компании зарабатывают довольно хорошо. Однако на самом деле 90% сотрудников получают зарплату почти в два раза ниже этого среднего значения. Медианная же зарплата в этом случае будет равна 50 000 рублей, что гораздо точнее отражает доход типичного сотрудника.

Ответ: Среднее значение заработной платы, завышенное из-за одного очень высокого оклада, не отражает реальный уровень доходов большинства работников.

Пример 2: "Средняя температура по больнице"

Это классический пример, который стал крылатым выражением. Допустим, в палате 10 пациентов. У восьми из них нормальная температура тела — 36.6°C. У одного пациента сильный жар — 41°C. А один пациент, к сожалению, умер, и его тело остыло до 20°C. Найдем среднюю температуру по палате.

Расчет среднего значения:$T_{ср} = \frac{8 \times 36.6 + 41 + 20}{10} = \frac{292.8 + 41 + 20}{10} = \frac{353.8}{10} = 35.38 \text{°C}$

Среднее значение 35.38°C находится в пределах нормы для человека. Глядя только на эту цифру, можно сделать совершенно неверный вывод, что в целом ситуация в палате удовлетворительная. Однако на самом деле эта цифра скрывает как критическое состояние одного больного, так и летальный исход другого.

Ответ: Среднее значение полностью маскирует критические отклонения от нормы в данных и приводит к абсурдной и неверной оценке общей картины.

Пример 3: Оценки ученика

Ученик в течение четверти получал по математике следующие оценки: 5, 5, 5, 5, 2. Двойку он получил за контрольную, которую пропустил по болезни и написал позже в сложных условиях. Посчитаем средний балл.

Расчет среднего значения:$Б_{ср} = \frac{5 + 5 + 5 + 5 + 2}{5} = \frac{22}{5} = 4.4$

Средний балл 4.4 не позволяет поставить ученику итоговую оценку "5", хотя подавляющее большинство его оценок — это пятерки, и они лучше отражают его уровень знаний. Мода (наиболее частая оценка) в этом ряду равна 5. Единственная низкая оценка (выброс) сильно "портит" среднее значение.

Ответ: Единственный случайный или нетипичный низкий результат непропорционально сильно снижает средний балл, неточно отражая реальную успеваемость ученика.

Пример 4: Цены на недвижимость

Предположим, мы хотим узнать среднюю цену однокомнатной квартиры в некотором районе города. За последний месяц было продано 5 квартир по следующим ценам: 3 млн руб., 3.2 млн руб., 3.5 млн руб., 3.3 млн руб. и одна элитная квартира-студия в пентхаусе за 20 млн руб.

Расчет среднего значения:$Ц_{ср} = \frac{3 + 3.2 + 3.5 + 3.3 + 20}{5} = \frac{33}{5} = 6.6 \text{ млн рублей}$

Средняя цена в 6.6 млн рублей значительно выше стоимости большинства проданных квартир. Покупатель, ориентирующийся на это среднее значение, получит неверное представление о рынке и может решить, что жилье в этом районе ему не по карману, хотя на самом деле 4 из 5 квартир стоили почти в два раза дешевле.

Ответ: Наличие одного крайне дорогого объекта (выброса) в выборке искусственно завышает среднюю цену, делая ее бесполезной для оценки стоимости типичного жилья в данном районе.

8. Опишите частотную таблицу.

Частотная таблица (или таблица частот) — это один из основных инструментов описательной статистики, который используется для организации и обобщения данных. Она представляет собой таблицу, которая показывает, сколько раз каждое значение (или каждая категория значений) из набора данных встречается в выборке.

Определение и назначение

Частотная таблица систематизирует необработанные (сырые) данные, группируя их по уникальным значениям или интервалам. Основное назначение таблицы — представить большой объем информации в сжатой и наглядной форме, что упрощает анализ распределения данных. Она помогает быстро определить, какие значения являются наиболее или наименее распространенными, а также увидеть общую структуру данных.

Ответ: Частотная таблица — это способ представления данных, в котором для каждого уникального значения или интервала указывается количество его повторений (частота) в исходном наборе. Она используется для обобщения и анализа распределения данных.

Структура частотной таблицы

Классическая частотная таблица включает в себя несколько столбцов:

• Варианта ($x_i$): Это уникальные значения или интервалы (классы) данных, которые исследуются. Например, оценки, цвета, возрастные группы.
• Частота ($f_i$): Также называется абсолютной частотой. Это число, показывающее, сколько раз данная варианта встречается в наборе данных. Сумма всех частот равна общему объему выборки ($N$): $\sum f_i = N$.
• Относительная частота ($w_i$): Это доля каждой варианты в общем объеме данных. Рассчитывается как отношение частоты варианты к общему числу наблюдений: $w_i = f_i / N$. Сумма всех относительных частот всегда равна 1 (или 100%, если выражать в процентах).
• Накопленная частота (кумулятивная частота): Это сумма частоты текущей варианты и всех предыдущих. Она показывает, сколько наблюдений имеют значение, меньшее или равное значению текущей варианты. Для последней варианты накопленная частота равна общему объему выборки $N$.
• Накопленная относительная частота: Это сумма относительной частоты текущей варианты и всех предыдущих. Для последней варианты она равна 1 (или 100%).

Ответ: Основные элементы структуры частотной таблицы — это столбцы с вариантами (значениями или интервалами), их абсолютными частотами (количеством повторений), относительными частотами (долями) и, при необходимости, накопленными (кумулятивными) частотами.

Пример построения частотной таблицы

Рассмотрим набор данных — оценки, полученные 20 студентами за контрольную работу:
5, 4, 4, 3, 5, 2, 4, 3, 5, 5, 4, 4, 3, 2, 5, 4, 3, 4, 5, 4.

Шаг 1: Определяем варианты (уникальные оценки). Это 2, 3, 4, 5.

Шаг 2: Подсчитываем абсолютную частоту ($f_i$) для каждой оценки.

• Оценка "2" встречается 2 раза.
• Оценка "3" встречается 4 раза.
• Оценка "4" встречается 8 раз.
• Оценка "5" встречается 6 раз.

Общий объем выборки $N = 2 + 4 + 8 + 6 = 20$.

Шаг 3: Рассчитываем относительную частоту ($w_i = f_i / 20$) и накопленные частоты.

Шаг 4: Составляем итоговую таблицу.

Ответ:

9. Опишите, что такое мода.

Мода (обозначается как $Mo$) в математической статистике и теории вероятностей — это значение из набора данных (выборки), которое встречается чаще всего. Другими словами, это самое «популярное» значение в ряду наблюдений.

Мода является одной из трёх основных мер центральной тенденции, наряду со средним арифметическим и медианой. Важным свойством моды является её устойчивость к выбросам — экстремально большим или малым значениям в выборке, которые могут сильно исказить среднее арифметическое.

Как найти моду

Для нахождения моды необходимо выполнить следующие шаги:

1. Упорядочить набор данных (не обязательно, но упрощает подсчет).
2. Подсчитать, сколько раз встречается каждое значение в наборе.
3. Значение, которое встречается наибольшее количество раз, и будет модой.

Примеры:

• Унимодальное распределение (одна мода)

  Рассмотрим набор данных: $ \{1, 7, 2, 7, 5, 3, 7, 9\} $.
  Подсчитаем частоту каждого значения: число 7 встречается 3 раза, в то время как все остальные числа — по одному разу. Следовательно, мода этого набора равна 7.
  $Mo = 7$

• Би- и мультимодальное распределение (две или более мод)

  Если два или более значений встречаются с одинаковой и при этом максимальной частотой, то у набора данных несколько мод.
  Пример (бимодальное): В наборе $ \{2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7\} $ числа 3 и 6 встречаются по 2 раза каждое. Это максимальная частота в данном наборе. Таким образом, модами являются 3 и 6.
  $Mo_1 = 3$, $Mo_2 = 6$

• Отсутствие моды

  Если все значения в наборе данных встречаются одинаковое количество раз (например, по одному разу), то считается, что у такого набора моды нет.
  Пример: В наборе $ \{10, 25, 30, 45, 50\} $ каждое значение уникально. Мода отсутствует.

Применение моды

Мода особенно полезна при анализе категориальных (нечисловых) данных, для которых невозможно рассчитать среднее арифметическое или медиану. Например, при опросе о любимой марке автомобиля, модой будет та марка, которую назвало большинство опрошенных. Также мода используется для описания формы распределения данных; например, в гистограмме мода соответствует самому высокому столбцу.

Ответ: Мода — это значение в наборе данных, которое встречается с наибольшей частотой. Выборка данных может иметь одну моду (унимодальная), две (бимодальная) или более (мультимодальная), а также может не иметь моды, если все значения встречаются одинаковое число раз. Мода является мерой центральной тенденции, применяемой как для числовых, так и для категориальных данных.

10. Опишите, как найти относительную частоту.

Относительная частота — это статистическая величина, которая показывает, какую долю от общего числа наблюдений или испытаний составляет частота появления определенного события. Она является эмпирическим аналогом вероятности события.

Чтобы найти относительную частоту, необходимо выполнить следующие действия:

1. Подсчитать частоту события. Это количество раз, которое интересующее нас событие произошло в ходе эксперимента или наблюдения. Обозначим эту величину буквой $m$.
2. Определить общее число наблюдений. Это общее количество всех проведенных испытаний, экспериментов или общее число элементов в выборке. Обозначим эту величину буквой $n$.
3. Вычислить отношение частоты события к общему числу наблюдений.

Формула для расчета относительной частоты ($W$) выглядит так:

$W = \frac{m}{n}$

где:
$W$ — относительная частота,
$m$ — частота наступления события,
$n$ — общее число проведенных наблюдений.

Пример:
В классе 25 учеников ($n=25$). Контрольную работу на "отлично" написали 5 учеников. Найдем относительную частоту получения отличной оценки.
Частота события "получить отличную оценку" равна $m=5$.
Общее число наблюдений (учеников) равно $n=25$.
Относительная частота вычисляется как:
$W = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} = 0.2$

Результат можно выразить в виде десятичной дроби (0.2), обыкновенной дроби ($\frac{1}{5}$) или в процентах, умножив десятичную дробь на 100. В данном случае это $0.2 \times 100\% = 20\%$.

Ответ: Чтобы найти относительную частоту, нужно разделить количество раз, когда произошло интересующее событие (частоту события), на общее количество проведенных наблюдений (испытаний).

11. Какое число называют медианой упорядоченной выборки?

Медианой упорядоченной выборки (то есть ряда чисел, расположенных в порядке неубывания или невозрастания) называют число, которое делит этот ряд на две равные по количеству элементов части. Способ нахождения медианы зависит от того, является ли количество элементов в выборке четным или нечетным.

Случай нечетного количества элементов

Если в упорядоченной выборке нечетное количество элементов, обозначим его как $n$, то медианой является число, которое стоит ровно посередине. Порядковый номер этого элемента в ряду можно найти по формуле: $\frac{n+1}{2}$.

Пример: Дана выборка {2, 5, 7, 10, 15}.

Количество элементов $n=5$ (нечетное).

Порядковый номер медианы: $\frac{5+1}{2} = 3$.

Третий элемент в выборке — это число 7. Следовательно, медиана этой выборки равна 7. Ровно два элемента меньше медианы (2, 5) и два элемента больше (10, 15).

Случай четного количества элементов

Если в упорядоченной выборке четное количество элементов, обозначим его как $n$, то медианой является среднее арифметическое двух чисел, стоящих посередине. Порядковые номера этих элементов — $\frac{n}{2}$ и $\frac{n}{2} + 1$.

Пример: Дана выборка {3, 6, 8, 11, 14, 20}.

Количество элементов $n=6$ (четное).

Посередине находятся два элемента с номерами $\frac{6}{2}=3$ и $\frac{6}{2}+1=4$.

Третий элемент в выборке — это 8, а четвертый — 11.

Медиана вычисляется как их среднее арифметическое: $M_e = \frac{8+11}{2} = \frac{19}{2} = 9.5$.

Ответ: Медианой упорядоченной выборки, состоящей из $n$ чисел, называется число, которое находится посередине этого ряда. Если количество чисел в выборке ($n$) нечетно, то медиана — это число, стоящее на месте с номером $\frac{n+1}{2}$. Если количество чисел в выборке ($n$) четно, то медиана — это среднее арифметическое двух чисел, стоящих на местах с номерами $\frac{n}{2}$ и $\frac{n}{2}+1$.

12. Что называют мерами центральной тенденции совокупности данных?

Меры центральной тенденции — это числовые характеристики, которые описывают типичное или центральное значение для совокупности данных. Они позволяют одним числом представить общую тенденцию в распределении данных, указывая на его «центр тяжести». Основными мерами центральной тенденции являются среднее арифметическое, медиана и мода.

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое (часто называемое просто "средним") — это наиболее распространенная мера центральной тенденции. Она вычисляется путем суммирования всех значений в наборе данных и деления этой суммы на количество значений.

Формула для расчета среднего арифметического ($ \bar{x} $) для совокупности данных $ x_1, x_2, \dots, x_n $, состоящей из $ n $ элементов:
$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} $

Пример: Найдем среднее арифметическое для набора данных {4, 8, 3, 4, 6}.
Сумма значений: $ 4 + 8 + 3 + 4 + 6 = 25 $.
Количество значений: 5.
Среднее арифметическое: $ \bar{x} = \frac{25}{5} = 5 $.

Недостатком среднего арифметического является его чувствительность к выбросам — экстремально большим или малым значениям, которые могут сильно исказить результат.

Ответ: Среднее арифметическое — это число, равное отношению суммы всех чисел совокупности к их количеству.

Медиана

Медиана — это значение, которое делит упорядоченный набор данных на две равные части. Половина данных будет меньше медианы, а другая половина — больше. В отличие от среднего, медиана устойчива к выбросам.

Для нахождения медианы необходимо:

1. Упорядочить все значения в наборе данных по возрастанию (или убыванию).
2. Найти значение, которое находится ровно посередине.

• Если количество значений нечетное, медианой является центральное число в упорядоченном ряду.
  Пример: Для набора {3, 9, 1, 5, 2} сначала упорядочим его: {1, 2, 3, 5, 9}. Медиана — 3.
• Если количество значений четное, медианой является среднее арифметическое двух центральных чисел.
  Пример: Для набора {8, 1, 4, 6, 2, 10} упорядочим его: {1, 2, 4, 6, 8, 10}. Медиана — это $ \frac{4 + 6}{2} = 5 $.

Ответ: Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного по возрастанию или убыванию ряда данных.

Мода

Мода — это значение, которое встречается в наборе данных чаще всего. Набор данных может иметь одну моду (унимодальный), две моды (бимодальный), несколько мод (мультимодальный) или не иметь моды вовсе, если все значения встречаются одинаковое количество раз.

Примеры:

• В наборе {2, 5, 8, 5, 1, 5, 3} модой является число 5, так как оно встречается три раза — чаще других.
• В наборе {1, 2, 2, 3, 4, 4, 5} есть две моды: 2 и 4.
• В наборе {1, 2, 3, 4, 5} моды нет, так как все значения встречаются по одному разу.

Мода является единственной мерой центральной тенденции, которую можно применять для качественных (категориальных) данных (например, "синий" может быть модой в опросе о любимом цвете).

Ответ: Мода — это значение из совокупности данных, которое встречается наиболее часто.

665. Используя диаграмму, на которой отображено, сколько посещений музеев в год в России приходится на 1000 человек населения (рис. 98), определите:

1) в какой из рассматриваемых годов посещаемость музеев была наибольшей; наименьшей;

2) на сколько человек выросла посещаемость музеев в 2016 г. по сравнению с 2013 г.;

3) на сколько процентов возросла посещаемость музеев в 2017 г. по сравнению с 2012 г. (ответ округлите до десятых).

Рис. 98

Количество посещений музеев на 1000 человек в год

2012: 629

2013: 667

2014: 702

2015: 814

2016: 843

2017: 800

Годы

1) в какой из рассматриваемых годов посещаемость музеев была наибольшей; наименьшей;

Для определения годов с наибольшей и наименьшей посещаемостью необходимо проанализировать высоты столбцов на диаграмме, которые соответствуют количеству посещений на 1000 человек населения.

Данные с диаграммы:

• 2012 г. – 629 посещений
• 2013 г. – 667 посещений
• 2014 г. – 702 посещения
• 2015 г. – 814 посещений
• 2016 г. – 843 посещения
• 2017 г. – 800 посещений

Сравнивая эти значения, находим, что самый высокий столбец соответствует 2016 году ($843$ посещения), а самый низкий – 2012 году ($629$ посещений).

Ответ: наибольшая посещаемость была в 2016 г., наименьшая – в 2012 г.

2) на сколько человек выросла посещаемость музеев в 2016 г. по сравнению с 2013 г.;

Чтобы найти, на сколько выросла посещаемость, нужно найти разницу между количеством посещений в 2016 году и в 2013 году.

Посещаемость в 2016 г.: 843.

Посещаемость в 2013 г.: 667.

Вычисляем разницу:

$843 - 667 = 176$

Ответ: посещаемость музеев выросла на 176 человек.

3) на сколько процентов возросла посещаемость музеев в 2017 г. по сравнению с 2012 г. (ответ округлите до десятых).

Для расчета процентного роста посещаемости в 2017 году по сравнению с 2012 годом, мы используем 2012 год как базовый.

Посещаемость в 2017 г.: 800.

Посещаемость в 2012 г.: 629.

Сначала найдем абсолютный прирост:

$800 - 629 = 171$

Теперь вычислим, какую долю этот прирост составляет от базового значения (2012 г.) и выразим в процентах. Формула для процентного роста:

$(\frac{\text{Новое значение} - \text{Старое значение}}{\text{Старое значение}}) \times 100\%$

Подставляем наши значения:

$(\frac{171}{629}) \times 100\% \approx 0.27186 \times 100\% \approx 27.186\%$

Округляем полученный результат до десятых:

$27.186\% \approx 27.2\%$

Ответ: посещаемость музеев возросла на 27,2%.